« Pendant que je m’appliquais scrupuleusement à cette méditation, pendant que je réfléchissais que rien n’était tout à fait affirmé au chapitre 45, et qu’ainsi mon triomphe au sujet de Mars avait été indiscret, je tombai par hasard fortuitement sur la sécante de l’angle 5°18’ qui est la mesure de l’équation optique maximale. Comme je la vis être 100 429, je fus ici comme réveillé d’un sommeil, je regardai une nouvelle lumière et je commençai de raisonner ainsi (…) ». (page 345)

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Kepler est donc maintenant doté de la méthode pour obtenir les bonnes distances de la planète au Soleil, en coupant la moitié de la lunule comme précédemment. Retournons au diagramme de l’orbite circulaire du chapitre 40.

Sur l’orbite circulaire, la planète était censée être en V. Maintenant, elle est toujours dans la direction de V si on la regarde depuis le centre B, mais à une distance de B égale à RV, si R est la perpendiculaire à BV projetée sur A. On peut voir le nouveau point rouge proche de V, plus petit (Pourquoi Kepler dit-il que cela remplace le rayon par la sécante ?). Ainsi est construite la bonne position de la planète. Il n’y a plus de rotation sur un épicycle : la planète se balance désormais sur la ligne de distance.

(Note : ce diagramme contient une légère exagération – Mars devrait se trouver plus proche de V)

Voici une animation de ce processus pour l’ensemble de l’orbite. Les deux lignes bleues sont toujours de la même longueur. Le chemin n’est pas parfaitement elliptique, Kepler va dire qu’il est « gonflé des joues » dans le chapitre 58.

La distance Soleil-Mars est construite pour être égale à la distance bleu-vert. Après avoir cliqué sur l’animation, s et x permettent d’ajuster l’excentricité, a et z permettent d’ajuster la vitesse, la barre d’espace permet de faire une pause.

Test de l’hypothèse

Cette technique crée-t-elle les bonnes longueurs ? Voici ci-dessous la table présentée à la fin du chapitre 56, dans laquelle Kepler annonce son succès : les résultats de cette méthode correspondent aux distances Mars-Soleil telles qu’elles avaient été déterminées dans le chapitre 51.

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« Il apparaît donc, à partir d’observations très nombreuses, que le chemin de la planète dans le ciel éthéré n’est pas fait circulaire, mais de figure ovale, et qu’il est balancé sur le diamètre (…) ». (page 349)