« De plus, entre le cercle et l’ellipse rien en s’interpose, si ce n’est une autre ellipse. Donc l’ellipse est le chemin de la planète ». (page 366)

Une erreur dans les équations

Les distances déterminées dans le chapitre 56 sont bonnes, mais Kepler doit maintenant calculer les bonnes équations. En testant son hypothèse, il trouve que la planète est de 5½’ en avance de ce qu’elle devrait être dans le quadrant supérieur, et de 4’ en retard dans le quadrant inférieur. Mécontent de se retrouver avec une si grande erreur, Kepler rejette son hypothèse du chapitre 56, qui pourtant avait trouvé écho dans les distances des chapitres 51 et 53 et dans les arguments physiques du chapitre 57. Il se remet alors à penser à une orbite en forme d’ellipse. Mais :

« La vérité, et la vraie nature des choses, bien que répudiée et condamnée à l’exil, revinrent par la petite porte ». (page 366, retraduit)

Changeons légèrement l’hypothèse du balancement :

La distance de la planète est déterminée par la longueur diamétrale AE. Cette longueur est reportée avec un compas dont la pointe se trouverait en A. Elle intersecte la ligne BD en I, et la perpendiculaire DC en F. Dans le chapitre 56, Kepler plaçait la planète en I, ce qui lui donnait une équation trop grande de 5½’. Maintenant, il la place en F.

Ce léger changement corrige l’équation, et fait que la planète se déplace sur une ellipse ! Cette ellipse se trouve entre le cercle du chapitre 43 et l’ellipse du chapitre 47.

« Et l’excès de l’un est égal au manque de l’autre. De plus, entre le cercle et l’ellipse rien ne s’interpose, si ce n’est une autre ellipse. Donc l’ellipse est le chemin de la planète, et la lunule retranchée du demi-cerclea la moitié de la première largeur, à savoir 429 ». (page 366)

Kepler reprend son raisonnement : l’erreur dans les équations suggère une ellipse entre le cercle et la première ellipse, tandis que les distances déterminées dans les chapitres 51 et 53 suggèrent les distances diamétrales, qui sont soutenues par l’hypothèse physique du chapitre 57. Que doit donc choisir Kepler : l’ellipse ou le balancement diamétral ? Rendu fou par ce choix à effectuer, Kepler réalise finalement qu’il n’a pas à choisir :

« Ô, que j’étais ridicule ! Comme si le balancement sur le diamètre ne pouvait convenir à une voie selon une ellipse ». (page 367)

Une comparaison

Voici une comparaison entre l’orbite boursouflée du chapitre 56 (en vert), et le nouveau chemin elliptique développé dans le chapitre 58 (en rouge) :

Un autre angle de vue

(cliquer pour agrandir)

Voici un autre diagramme du passage de l’orbite gonflée à l’orbite elliptique. L’orbite gonflée du chapitre 56 place la planète en Z quand Z est sur la ligne HK, et la longueur NZ est égale à KT. Kepler place maintenant la planète en M, qui est éloigné de N d’une longueur égale à KT. Placer la planète au point M fait qu’elle se déplace selon une ellipse. Les 3 longueurs égales KT, NZ, et NM, sont toutes en bleu.