Comme l’a démontré Kepler dans le chapitre 59, bien que les planètes se déplacent sur des orbites elliptiques, il est possible (et en fait nécessaire) d’utiliser une aire circulaire pour mesurer la somme des distances planète-Soleil, et ainsi calculer l’anomalie moyenne, c’est-à-dire le temps.
3 anomalies
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Voici les 3 anomalies du chapitre 59. L’anomalie excentrique est la ligne en bleu clair dessinée par le chemin de la planète. C’est ce qui mesure l’angle que la planète a effectué du point de vue du centre rouge. L’anomalie égalée est l’arc orange, qui mesure l’angle qu’a effectué la planète du point de vue du Soleil. L’anomalie moyenne (le temps) est la section d’aire circulaire définie par le mouvement de la planète vu depuis le Soleil. C’est la section circulaire rouge plus le triangle vert.
Pour que Kepler puisse mettre sa théorie en pratique, il lui faut pouvoir passer d’une anomalie à l’autre.
Obtenir l’anomalie moyenne à partir de l’anomalie excentrique
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En commençant avec l’anomalie excentrique (l’angle bleu), il est facile de trouver l’anomalie moyenne (l’aire totale : rouge et vert). Pour cela, créons d’abord la section rouge : l’angle bleu est aux 360°, ce que l’aire de la section est à l’aire de tout le cercle. Ensuite, ajoutons le triangle vert. L’aire d’un triangle est égale à la moitié de sa base multipliée par la hauteur ; ici la base du triangle vert (qui bouge) est toujours l’excentricité entre le Soleil et le centre de la planète, nous ne devons donc nous soucier que de sa hauteur. La ligne en pointillés bleus mesure la hauteur du triangle, qui est le sinus de l’angle bleu. Ainsi, l’aire d’un triangle est à l’aire d’un autre triangle ce que le sinus de l’angle bleu est au sinus d’un autre angle bleu. Donc nous ajoutons la section, que nous connaissons, à l’aire du triangle, que nous connaissons (en utilisant la table des sinus correspondant à la hauteur), et ainsi nous obtenons l’anomalie moyenne.
Exemple numérique
Prenons une excentricité qui fait ¼ du rayon, et une anomalie excentrique (l’angle bleu) de 30°. L’aire de la section circulaire est l’aire entière du cercle (πr² = π, car nous prenons r = 1) multipliée par la portion de cercle que nous avons, donc :
Aire de la section circulaire = π x (30°/360°) = π/12
Maintenant, prenons le triangle. Sa base est de ¼ du rayon (l’excentricité) et sa hauteur de Sin(30°), qui est ½. Son aire = ½ (base x hauteur)
Aire du triangle = ½ x ¼ x ½ = 1/16
Donc anomalie moyenne= π/12 + 1/16
Obtenir l’anomalie égalée à partir de l’anomalie excentrique
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Si l’arc AK, tel qu’il est vu depuis le centre H, est connu, alors LH est son cosinus (« sinus de son angle complémentaire » pour Kepler). HN est l’excentricité connue. Les triangles LHK et THN sont similaires (ils ont en commun l’angle en H), donc KH est à HL ce que HN est à HT. Nous connaissons donc HT. Dans la construction de Kepler, la longueur brune MN est rendue égale à KT (c’est comme ça qu’il génère ses ellipses). Ainsi, dans le triangle MLN, nous connaissons MN et LN. Il ne nous reste plus qu’à trouver l’angle qui a pour cosinus LN/MN, et nous connaîtrons l’angle égalé.
« L’angle LNM de l’anomalie égalée ne sera donc pas ignoré ». (page 380)
Exemple numérique
Prenons à nouveau l’excentricité HN égale à ¼ du rayon, mais avec cette fois un angle d’excentrique à 60°. HK est le rayon de 1, et le cosinus LH de 60° est égal à ½. Comme HK est à LH (1 : ½) ce que HN est à HT (1/4 : HT), alors HT = 1/8. Nous pouvons donc additionner HK et HT pour obtenir MN = 9/8. Nous pouvons aussi additionner LH et HN pour avoir LN = ¾.
Ainsi, l’angle égalé LNM que nous recherchons a pour cosinus LN/MN = (3/4) / (9/8) = 2/3. En prenant la table trigonométrique, nous trouvons que l’anomalie égalée, l’angle LNM avec son cosinus de 2/3, mesure 48°11’23’’.
Obtenir l’anomalie excentrique à partir de l’anomalie égalée
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Là, c’est un peu plus difficile ! Kepler nous donne ici plusieurs méthodes de calcul ; nous n’allons prendre ici que la dernière, pages 383-384.
Le but est de déterminer la longueur LH, qui est le cosinus de l’angle d’excentrique recherché LHK. Utilisons le rayon HK = 1, et l’excentricité HN = e.
Premièrement nous avons l’angle LNM, et nous allons regarder son cosinus : LN = MN x Cos(LNM).
Comme LH = LN - HN, donc LH = MN x Cos(LNM) - HN, ou
comme MN = HK + HT = 1 + HT, alors LH = (1 + HT) Cos(LNM) - e.
Mais nous savons aussi des triangles similaires HLK et HTN, que LH : HK = HT : HN, ou LH : 1 = HT : e, ce qui veut dire que LH = HT / e
Combinons, avec LH = LH :
Multiplions les deux côtés par e :
Isolons HT :
Divisons :
Tout ce qu’il nous reste à faire, c’est d’utiliser nos bonnes valeurs pour le cosinus de LNM et notre excentricité e, et nous aurons LH. Et comme LH est le cosinus de l’angle AHK, nous pourrons alors consulter notre table trigonométrique.
Exemple numérique
Utilisons l’exemple de Kepler, et prenons l’excentricité HN (e) égale à 0.09265, et notre angle égalé LNM à 30°. Nous savons que :
LH =
Et avec la table, nous voyons que l’angle dont le cosinus est 0.84084 mesure 32°46’, comme le dit Kepler à la page (33°18’ dans la version française de La Nouvelle astronomie).
Obtenir l’anomalie excentrique à partir de l’anomalie moyenne
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« Mais l’anomalie moyenne étant donnée, il n’y a aucune méthode géométrique pour parvenir à l’anomalie égalée, c’est-à-dire à l’anomalie de l’excentrique. En effet, l’anomalie moyenne est composée de deux portions d’aire, un secteur et un triangle ; desquels le premier certes est calculé par l’arc de l’excentrique, l’autre par le sinus de son arc multiplié par la valeur du triangle maximal, les derniers étant supprimés.
« Mais les rapports entre les arcs et leurs sinus sont en nombre infini. Et ainsi la somme des deux étant posée d’avance, il ne peut être dit combien grand est l’arc, combien son sinus correspondant à cette somme, à moins que nous n’examinions avant combien grande deviendrait l’aire ; ce qui est à moins que tu n’aies construit les tables, et que tu opères ainsi à partir d’elles.
« Ceci est mon opinion. Par le fait qu’elle semblera posséder moins de beauté géométrique, j’exhorte d’avantage les géomètres, afin qu’ils résolvent pour moi ce problème :
« L’aire d’une partie du demi-cercle étant donnée, et un point du diamètre étant donné, trouver l’arc et l’angle en ce point dont l’aire donnée est comprise entre l’arc et les côtés de l’angle. Ou : partager dans un rapport donné l’aire du demi-cercle à partir d’un point quelconque du diamètre.
« Il me suffit de croire ne pouvoir résoudre à priori à cause du genre différent de l’arc et du sinus. Pour moi hésitant, quiconque aura montré le chemin, celui-là sera pour moi un grand Apollonius ». (page 384)
Exemple numérique
Essaie donc de trouver, cher lecteur, l’anomalie excentrique (l’angle bleu) correspondant à une anomalie moyenne (l’aire combinée rouge et verte) de 1/6. Cela revient à trouver l’angle excentrique correspondant à la position de la planète après qu’elle ait parcouru 1/6ème du chemin de son orbite : ce qui nous dévoilerait sa position future. N’est-ce pas là le but de l’astronomie ? Alors au boulot !
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