« Par cette convention, nous arriverions par des suppositions géométriques plus proches certes des anciens, mais nous nous écarterions des spéculations physiques ». (Kepler, La Nouvelle astronomie, page 241, paragraphe 1)
Avant de regarder ce que propose Kepler, un petit retour en arrière nous est nécessaire.
Mettez-vous en ligne
Lorsque tu veux dessiner un ligne droite, comment fais-tu ? Tu peux utiliser une règle, un bord plat, ou ton cahier de géométrie… pour être sûr que la ligne sera droite. Ce qui revient à dire que tu utilises un objet que tu considères déjà comme étant droit pour faire un autre objet droit. On ne se pose jamais la question de savoir si l’usine qui produit la règle la fait bien droite. Avec quelle règle l’usine fabrique-t-elle son produit ?
Et c’est encore différent quand tu dois dessiner un cercle. Tu peux utiliser un verre, ou un rouleau de scotch pour le faire, mais un cercle pré-existant n’est pas forcément nécessaire : le tracé d’un compas est bel et bien circulaire, celui d’un stylo accroché à une corde peut également l’être.
Nous sommes capable de créer un mouvement circulaire sans pour autant partir d’une forme circulaire déjà établie.
Mais existe-t-il un compas permettant de tracer des lignes droites ? C’est loin d’être une question inutile : la création d’un mécanisme permettant d’effectuer un déplacement en ligne droite fut essentielle pour le lancement des machines thermiques de Leibniz. Une machine à vapeur (ou un moteur de voiture) transforme l’expansion linéaire de la vapeur en un mouvement circulaire par l’utilisation d’un vilebrequin. Ce même mouvement circulaire est re-transformé en mouvement linéaire lorsque le piston est poussé dans le cylindre. Mais que se passe-t-il si le mécanisme permettant de pousser le piston n’est pas parfaitement linéaire ? Si le piston touche les bords du cylindre au cours de la poussée, cela pourrait abîmer la machine. La solution ?
Développer un compas à faire des lignes droites !
Note : les animations qui suivent présentent des tiges droites, mais le fonctionnement serait le même si elles étaient courbes, l’essentiel étant qu’elles soient rigides, afin de maintenir la même relation entre leurs extrêmités.
Le premier à avoir fourni une solution raisonnable fut James Watt, qui proposa le « mouvement parallèle de Watt » en 1784. Son mécanisme de joints et de tiges donnait une ligne droite à 0.0008" pour 2,54 cm de mouvement.
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Chebyshev, de Saint-Pétersbourg, fit encore mieux : il réduisit la marge d’erreur de 13 ordres de grandeur.
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Le mécanisme de Peaucellier
Le premier qui créa réellement un mouvement linéaire fut le Français Charles Nicolas Peaucellier, en 1864. Le mouvement est basé sur certaines caractéristiques de la géométrie de l’inversion circulaire. Sur cette animation, les deux points du losange qui ne sont pas connectés aux lignes rouges partant du centre du cercle, sont les points inverses des deux points qui suivent le cercle violet (connectés aux lignes rouges). [Pour ceux qui font leurs devoirs sur les fonctions complexes : quelle est la fonction complexe qui crée cette transformation circulaire inversée ? Une telle fonction complexe existe-t-elle ?] Le point qui se déplace au bout de la ligne verte dessine le cercle en pointillés verts. C’est l’une des propriétés de l’inversion circulaire qu’un cercle touchant le centre du cercle inversé soit transformé en ligne droite. Ainsi, le point situé sur le coin droit du losange bleu dessine une ligne droite (en pointillés) alors que le point de gauche dessine un cercle (en pointillés aussi).
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Watt, Chebyshev, Peaucellier, et d’autres… Plus d’un siècle de travail. Cela fait beaucoup de temps et d’efforts pour être capable de créer physiquement ce qui est si simple géométriquement !
La difficulté de créer physiquement des résultats géométriques
Travailler sur ce problème de la création d’une ligne droite te permettra, cher lecteur, de mieux voir les défis auxquels s’est confronté Kepler. Après avoir développé le principe physique (c’est-à-dire ni inductif, ni géométrique) de gravitation, ouvrant à l’humanité la porte de l’« hypothétisation » de principes physiques, Kepler retourne à la géométrie pour enquêter sur la forme des orbites des planètes résultant de principes physiques – et le voici bien mal à l’aise ! La simplicité géométrique du mouvement circulaire est incroyablement difficile à rendre lorsque qu’il s’agit de partir des causes physiques !
Il est peut-être de rappeller le raisonnement de Copernic sur le mouvement circulaire dans De Revolutionibus :
« Nous devons toutefois confesser que ces mouvements sont circulaires ou composés de plusieurs mouvements circulaires, en cela ils maintiennent les irrégularités par une loi constante et un retour périodique fixe : Ce qui ne se pourrait s’ils n’étaient circulaires. Car il est exclusif du cercle, de ramener ce qui est passé et à venir avec lui, et de cette manière, par exemple, le Soleil par un mouvement composé de mouvements circulaires nous ramène les inégalités des jours et des nuits et des quatre saisons de l’année. Beaucoup de mouvement sont reconnus par ce simple mouvement, car il est impossible qu’un simple corps céleste puisse être déplacé irrégulièrement par une simple sphère. Pour cela nous devrons prendre en considération l’inconstance de la vertu motrice – que la raison en soit une cause intrinsèque ou extrinsèque – ou l’inégalité entre lui et le corps déplacés. Mais comme l’esprit tremble à cette supposition , et comme il est presque impensable de supposer qu’un tel ordre existe parmi les choses qui sont établies dans le meilleur système, nous nous accordons que ces mouvements réguliers nous apparaissent comme irréguliers, soit que leurs cercles ont différents pôles, ou que la Terre n’est pas au centre du cercle sur lequel ils évoluent. » (Copernic, De Revolutionibus, Livre I, chapitre 4)
Mais Kepler ayant démontré l’échec de l’hypothèse suppléante, une conclusion s’impose : le mouvement circulaire uniforme n’existe nulle part ! Et maintenant, dans ce chapitre 39, nous en venons à la difficulté de créer un mouvement circulaire non uniforme. Le début du chapitre nous fait entrer dans les profondeurs épistémologiques :
« Et ainsi, que ces axiomes soient pour nous très vrais dans les choses démontrées. D’abord, que le corps de la planète soit par nature porté au repos, en tout lieu dans lequel il est supposé solitaire. Deuxièmement, que par cette vertu qui vient du Soleil, il soit transporté d’un lieu en un lieu selon la longitude du zodiaque. Troisièmement, si la distance de la planète depuis le Soleil n’est pas modifiée, le chemin de ce déplacement devra être circulaire. Quatrièmement, entre les retours dans deux distances depuis le Soleil de la planète restant sur tout le circuit, les temps périodiques seront dans le carré du rapport des distances, soit de la grandeur des cercles. Cinquièmement, la vertu simple et solitaire résidant dans le corps même de la planète, n’est pas suffisante au transport de lieu en lieu de son corps, puisqu’elle manque de pieds, d’ailes et de nageoires, par lesquels elle se porterait dans le souffle éthéré. Sixièmement, et pourtant l’approche de la planète vers le Soleil et l’éloignement de lui, naissent de la vertu qui est propre à la planète. Toutes ces choses sont, et conformes à leur nature, et démontrées jusqu’ici.
« Poursuivons maintenant dans les figures géométriques pour qu’il apparaisse qu’il est nécessaire de certaines lois afin de représenter l’orbite que l’on veut de la planète. J ’accorde que l’orbite de la planète soit un cercle, comme cru jusqu’ici. » (Kepler, La Nouvelle astronomie, page 239)
Ci-dessous une animation de mouvement circulaire, où le temps que met la planète à parcourir un certain arc, est proportionnel à sa distance depuis le Soleil : sa vitesse est inversement proportionnelle à sa distance au Soleil.
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La gravitation est responsable du changement de vitesse. Mais quel mécanisme « propre à la planète » peut être tenu pour responsable du changement de distance au Soleil tout en maintenant la planète le long d’un cercle centré sur un point où il n’y a rien ?
Première proposition
Kepler propose tout d’abord que la planète soit placée sur un épicycle qui se déplace à une vitesse non uniforme. Ci-dessous, le point γ se trouve là où l’épicycle pointerait s’il ne tournait pas, mais il effectue une rotation autour de N pour maintenir la planète au sommet de l’épicycle.
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Mais quelque chose de particulier doit se produire pour que le mouvement se fasse de la sorte. Mis à part le fait que la planète doive, par sa propre puissance, se déplacer autour de son épicycle (en violation du cinquième axiome), une autre absurdité surgit : « Et parce que l’accroissement et le relâchement est à partir de la plus petite ou plus grande distance du corps de la planète depuis le Soleil, pour cette raison le centre de l’épicycle restant dans la même distance serait imaginé se mouvoir lentement ou rapidement, à cause de la planète plus longuement ou plus courtement distante ». (Kepler, La Nouvelle astronomie, page 240)
Cela viole le principe de gravitation ! La vitesse n’est-elle pas sensée dépendre de la distance ? Alors pourquoi le centre de l’épicycle doit-il accélérer ou ralentir ? Comment se peut-il que « le centre N même, serait parfois lent, parfois rapide ; de nouveau, contrairement aux choses dites ci-dessus, parce que dans la même distance la vertu l’emporte perpétuellement en vitesse même ». (Kepler, La Nouvelle astronomie, page 241)
Autres idées
Kepler propose ensuite que l’épicycle reste en permanence parallèle à lui-même, pointant toujours dans la même direction. Ce qui équivaut à ce que la planète se déplace simplement le long du cercle centré en B. Mais cela implique que la planète doit « imaginer » le centre B. « Il est très absurde que la planète (…) se représente le centre et de là la distance, dans lequel centre ne se trouve aucun corps particulier pour marque » (page 241). La planète pourrait également se déplacer d’elle-même, en se référant au Soleil, « elle tire du même lieu comme des tables pruténiques ou alphonsiques » (page 241).
Peut-être même que la planète ne se déplace pas sur la circonférence de l’épicycle, mais sur son diamètre.
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Ci-dessous, le diagramme de la page 242 est animé. Il s’agit de l’épicycle du diagramme précédent, dont le centre est le point bleu.
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| (cliquer pour agrandir) | |
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« Le moyen de mesure par lequel la planète apprécie les distances justes dans le temps que l’on veut, est maintenant recherché ». (page 241)
La planète ne peut pas déterminer son balancement sur le diamètre de l’épicycle en mesurant des distances qui seraient sans cesse égales par rapport au centre B, car il n’y a rien au point B. Elle ne peut évaluer son éloignement ou son rapprochement par la distance déjà parcourue sur son orbite non plus : les longueurs γι, ιλ et λζ, qui sont toutes trois différentes, correspondent à la même distance parcourue le long de l’excentrique. Le temps écoulé ou l’angle parcouru par rapport au Soleil ne fonctionnent pas non plus : « Mais cette même cause empêche d’autant moins que γι, ιλ et λζ soient proportionnés, ou aux temps des arcs égaux achevés CD, DE, EF, ou aux angles au Soleil CAD, DAE, EAF. En effet le temps ou le délai de la planète dans des parties égales d’excentrique, est diminué continuellement du plus haut au plus bas ; les angles au Soleil sont continuellement augmentés ; de plus les distances γι sont augmentées au milieu comme ιλ. » (page 242)
En approchant l’orbite du point de vue des principes physiques, un paradoxe se présente : l’ancienne idée géométrique de « forme » ne fonctionne plus. Faire un cercle devient encore plus difficile que faire une ligne droite !
« Tu vois, lecteur, avec réflexion et esprit, que cette opinion au sujet du cercle excentrique parfait du chemin de la planète, entraîne beaucoup de faits incroyables dans les spéculations physiques ». (page 245)
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