« Je me préparerai maintenant pour le quatrième mode de calcul de l’équation, non par une hypothèse fausse, mais à partir de la nature même des choses ». (page 210)

« Donc puisque les délais de la planète dans des parties égales de l’excentrique sont successivement dans ce rapport dans lequel sont les distances mêmes de ces parties, cependant chaque point change de distance dans tout le demi-cercle de l’excentrique ; je n’ai pas pris pour moi une légère opération que de rechercher comment pourraient être obtenues les sommes de toutes ces distances séparément. En effet, à moins que nous ayons la somme de toutes les distances qui sont pourtant en nombre infinis, nous ne pourrons dire combien grands seront les délais ; c’est pourquoi l’équation sera ignorée. En effet, comme toute la somme des distances est au temps total périodique, ainsi une partie de la somme des distances en tel nombre que tu voudras est à son temps ». (page 247)

Additionner toutes les distances est « mécanique et fastidieux » ; Kepler considère donc que toutes les distances individuelles sont contenues dans l’aire du cercle. Il tente ensuite de trouver le rapport de proportion entre l’arc (le chemin de la planète sur son orbite) et l’aire balayée par la planète (la distance depuis le soleil ou l’excentrique).

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L’aire CDE est à l’arc CED ce que l’aire CBG est à l’arc CG (rouge). Donc l’arc CED est à l’arc CG ce que l’aire CDE est à l’aire CBG. L’aire du demi-cercle est à son arc ce que la petite aire est au petit arc.

Kepler voit que toutes les lignes partant de A sont contenues dans le demi-cercle CDE. Il considère que ce sera une clé pour arriver à la solution : « mais puisque celles qui sont tirées de A sont les distances elles-mêmes dont la somme est cherchée – il me semble conclure de là que les aires calculées CAH ou CAE doivent être tenues pour la somme en nombre infini des distances sur CH ou CE ; non qu’il puisse être passé outre à l’infini, mais parce que je pense que la mesure de la faculté rassemblée par laquelle les distances produisent de l’effet en vue des détails à accumuler, se trouve dans cette aire, de telle sorte que nous puissions l’obtenir par la connaissance de la surface, abstraction faite du dénombrement des très petites parties. » (pages 248-249)

Calcul de l’anomalie moyenne

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CGB est la mesure de l’anomalie excentrique. L’équation optique est l’angle BGA, et l’équation physique est l’aire BGA. L’aire du triangle BGA est l’excès de l’anomalie moyenne sur l’anomalie excentrique et l’angle BGA est l’excès de l’anomalie excentrique CBG sur l’anomalie égalée CAG.

« C’est pourquoi la connaissance de ce triangle [BAG] produit les deux parties d’équation correspondant à l’anomalie égalée GAC ». (page 249)

Si Kepler trouve l’aire de ce triangle, il peut alors mesurer le temps mis par une planète pour parcourir son orbite, car l’anomalie moyenne est prise comme mesure du temps.

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« Donc comme la hauteur GM est à la hauteur HL, ainsi l’aire GAB est à l’aire HAB ». (page 250)

Kepler utilise ce rapport pour investiguer l’aire du triangle BEA, le triangle à 90° nous donne ce qu’on appelle le sinus complet. Kepler obtient la valeur du sinus de cet angle. Comme le sinus complet est proportionnel aux sinus des autres triangles du cercle, il peut connaître l’aire de tous ces triangles.

C’est là sa 4ème méthode pour obtenir la valeur des équations « à partir de la nature même des choses ». Il utilisera cette procédure tout au long de ses raisonnements dans La Nouvelle astronomie.

Problème

Mais Kepler trouve un problème dans cette méthode de calcul des aires. Additionner toutes les distances depuis le centre B ( BC, BG, BH) donne 36 000 000, mais additionner toutes les distances depuis le Soleil A (AC, AG, AH) donne un résultat plus grand que 36 000 000 ! Ces deux opérations n’étaient-elles pas pourtant censées mesurer la même aire ?

Voici un diagramme qui explique pourquoi :

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Les distances depuis A sont plus longues que celles prises depuis B. La somme des longueurs partant de A est plus grande que la somme des longueurs passant par B (la ligne radiale du cercle).

On obtient le résultat inverse si on inverse le processus.

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Prenons A comme point autour duquel les angles égaux vont être créés. En connectant sur le cercle les lignes venant de B aux lignes passant par A, on s’aperçoit que ces lignes tirées de A sont plus courtes que celles venant de B. La somme des longueurs passant par A sera ici moindre que la somme des longueurs passant par B.

La conchoïde

Kepler crée alors une conchoïde pour représenter l’aire du cercle et y mesurer l’aire des longueurs A additionnées.

Cette animation est faite pour mieux comprendre comment Kepler construit sa conchoïde.

Note : L’aire de la surface rectangulaire est égale à l’aire du cercle que Kepler définit à 36 000 000. Toute section de ce rectangle (par exemple CBBG) sera le double de l’aire de la section circulaire correspondante (CBG dans l’exemple).

Voici une illustration expliquant pourquoi les triangles dessinés depuis A posent un tel problème :

La construction d’Archimède lui a permi de calculer approximativement la surface du cercle : il utilise une série de triangles rectangles, tous égaux, qui viennent toucher le cercle pour former des tangentesà ce cercle. Dans la construction de Kepler, les triangles viennent toucher le cercle obliquement tout en gardant leur angle droit.

Kepler trouve un moyen de créer une figure géométrique qui puisse représenter l’ensemble des longueurs venant de A comme l’aire totale du cercle : c’est la figure en forme conchoïdale. C’est une méthode importante car elle sera utilisée dans les chapitres suivants.

Ci-dessous, les longueurs HR et GQ sont créées en tirant la ligne partant de H ou de G et passant par B (le centre du cercle), et en faisant tomber ensuite du point A la perpendiculaire à cette ligne.

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À noter : Si nous additionnons HR à RV, nous obtenons une longueur égale au diamètre du cercle. Répéter ce processus nous donnera une série de longueurs, qui additionnées les unes aux autres, nous donnera une aire égale à celle du cercle.

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Ici, nous pouvons voir les longueurs GQ, HR, etc. et leur différence avec les longueurs de la conchoïde originale. Cette seconde conchoïde est AQRBSLA, la plus grande est AAAAAAA. Kepler déclare que l’aire entre les deux est « la mesure de l’excès des distances de A sur les distances de B » (page 252).

Kepler pose un problème aux futurs géomètres : « Et parce que cette époque possède des Géomètres très éminents qui parfois ne se fatiguent pas très longtemps dans des choses d’un emploi non certes évident, je les appelle tous pour qu’ils m’aident dans la recherche de quelque surface plane qui équivaille à toutes les distances rassemblées. Moi-même, certes, j’ai trouvé cela géométriquement (reçu d’une voix large) ; mais qu’ils m’enseignent à compter ce que j’ai esquissé géométriquement ; bien plus, qu’ils m’enseignent à quarrer une figure trouvée. » (page 252)