Même si nous avons des soupçons quant à savoir si l’orbite de Mars est effectivement un cercle (chapitre 41), nous avons déterminé l’excentricité de manière précise dans le chapitre 42. Ainsi, nous pouvons tester l’hypothèse aire-temps du chapitre 40 pour Mars. L’hypothèse suppléante de la Partie II étant un guide infaillible pour les longitudes, nous pouvons l’utiliser comme outil de comparaison par rapport au calcul de la position de Mars selon la méthode aire-temps.

Au quadrant (anomalie excentrique de 90°)

L’équation optique (l’angle Soleil-planète-centre) est l’angle dont la tangente est 9 264, ce qui fait 5°17’34’’ d’équation optique.

Ensuite, nous devons trouver l’aire du triangle bleu foncé, qui est l’équation physique – la différence entre l’anomalie moyenne (l’aire prise depuis le Soleil, balayée par la planète depuis l’aphélie) et l’anomalie excentrique (l’aire prise depuis le centre, mesurée par l’arc circulaire). L’aire de ce triangle est la moitié de sa base multipliée par sa hauteur, donc :

½ x 9 264 x 100 000 = 463 200 000

Si l’aire complète du cercle est 31 415 926 536, considéré comme 360°, alors l’aire du triangle, 463 200 000, correspond à 5°18’28’’. Ce qui est l’équation physique.

Pour calculer les anomalies, nous avons :

Anomalie excentrique = 90°

Anomalie moyenne = anomalie excentrique + équation physique = 90° + 5°18’28’’ = 95°18’28’’

Anomalie égalée = anomalie excentrique - équation optique = 90° - 5°17’34’’ = 84°42’26’’

En utilisant l’hypothèse suppléante pour une anomalie moyenne de 95°18’28’’, nous avons une anomalie égalée de 84°42’2’’, qui diffère de celle déterminée par la méthode aire-temps (84°42’26’’) de seulement 24’’.

À l’octant

À 45°, le triangle de l’équation physique est plus petit qu’à 90°, avec la même base de 9 264, mais avec une hauteur plus petite. Si nous savons qu’à 90°, le triangle à une taille de 5°18’28’’, alors à 45°, la taille sera de :

5°18’28’’ x Sin(45°) = 3°45’12’’

Ajouter cette équation physique à l’anomalie excentrique de 45° nous donne une anomalie moyenne de 48°45’12’’. Pour avoir l’anomalie égalée, nous utilisons la loi des tangentes et obtenons 41°28’54’’.

Mais quand nous utilisons l’hypothèse suppléante pour cette anomalie moyenne, nous arrivons à une anomalie égalée de 41°20’33’’, qui diffère de celle déterminée par la méthode aire-temps de 8’21’’.

Les anomalies correspondant à une anomalie excentrique de 135° sont déterminées par la même méthode.

Comparaison

Anomalie Moyenne	Anomalie égalée (Hypothèse aire-temps)	Anomalie égalée (Hypothèse suppléante)	Différence
0°	0°	0°	-
48°45’12’’	41°28’54’’	41°21’33’’	Aire + 8’21’’
95°18’28’’	84°42’26’’	84°42’2’’	Aire + 24’’
138°45’12’’	130°59’25’’	131°7’26’’	Aire - 8’
180°	180°	180°	-

Une fois encore, nous trouvons une erreur de 8’. Que se passe-t-il si nous comparons cette erreur avec celle obtenue dans l’hypothèse suppléante bissectée ? Alors que la suppléante bissectée place Mars trop près des apsides, aire-temps la place trop loin. L’hypothèse aire-temps semble faire que la planète passe trop de temps dans la longitude moyenne (autour d’une anomalie excentrique de 90°).

Ci-dessous, une animation de cette différence :

Cette animation a été réalisée avec la vraie excentricité de l’hypothèse suppléante et l’excentricité utilisée par Kepler dans le chapitre 43 pour aire-temps. Vu que les différences entre les positions sont petites (8’ maximum), elles ont ici été exagérées (facteur x25). Les touches a et z permettent d’accélérer et de ralentir l’animation, la barre espace de faire pause.

Mais d’où vient l’erreur ?

Bien que nous utilisions l’aire comme une mesure du temps dans ce chapitre, le concept d’aire-temps n’est pas le principe premier utilisé par Kepler à ce point-ci des choses. Sa théorie physique nécessite une relation vitesse-distance qui fasse que la planète prenne plus de temps pour un arc égal quand elle est plus éloignée du Soleil. Peut-être cette erreur est-elle venue d’une utilisation incorrecte de l’aire comme approximation de la somme des distances de la planète depuis le Soleil.

(cliquer pour agrandir)

Retournons à la conchoïde du chapitre 40. On se rappelle que les lignes CA, GA, HA, etc. sont les lignes représentant la distance du Soleil à la planète, alors que les lignes CA, GQ, HR, etc. (les points AQRBSLA se trouvent sur la ligne en pointillés) indiquent les distances diamétrales. L’aire de la conchoïde délimitée par la ligne pointillée AQRBSLA est égale à l’aire du cercle. Ainsi, la somme des distances planète-Soleil (la conchoïde entière) est plus grande, et la plus grande différence entre les deux aires se trouve au niveau des longitudes moyennes (le long de EBA). Donc, en utilisant l’aire circulaire plutôt que la somme des distances, nous avons fait bouger la planète plus rapidement au niveau des longitudes moyennes, car les distances y sont trop petites. Mais nous avons vu auparavant que l’hypothèse aire-temps rend Mars trop lente au niveau des longitudes moyennes. Cette erreur ne peut donc pas être expliquée par la différence entre l’aire et la somme des distances.

« Il y aura pour nous une autre occasion aussi de rechercher ce désaccord ». (page 273)