Dans le chapitre 45, Kepler vient d’émettre une hypothèse sur comment la planète change sa distance au Soleil, mais il est nécessaire de tester cette hypothèse pour voir si elle est valide ou non. Il effectue donc trois essais dans ce chapitre pour tenter d’appliquer cette hypothèse ovale du chapitre 45.

Le cercle fictif

Plutôt que d’utiliser un épicycle à rotation uniforme (un épicycle qui tournerait sur lui-même à vitesse constante), Kepler introduit ici un excentrique fictif avec lequel il va mesurer les distances Soleil-planète à des moments donnés. Les distances données par un excentrique ou celles données par un épicycle tournant sur un concentrique sont équivalentes, comme nous l’avons vu dans les chapitres 2, 39 et 40.

Première tentative

Ici le temps qui s’est écoulé depuis que la planète a quitté l’aphélie, est mesuré par l’angle δßε, plaçant la planète en ε sur notre excentrique fictif. Ce qui signifie que la distance de la planète au Soleil est αε. Comme la planète se déplace lentement quand elle se situe vers l’aphélie, elle se trouvera à cette distance αε avant d’atteindre ε, c’est-à-dire quand elle sera en µ.

Pour déterminer le moment où la planète atteint µ, Kepler utilise ses causes physiques, remarquant que l’aire δαε dépasse l’aire δßε comme l’arc δε dépasse l’arc δµ.

Pourquoi ? L’aire δαε représente la somme des distances de la planète sur le temps représenté par l’aire δßε ou l’arc δε. Comme l’aire δαε est plus grande que l’aire δßε, la planète aurait dû se déplacer proportionnellement moins durant cette période de temps, parcourant simplement l’arc δµ.

Problèmes

1. La somme des distances de la Soleil-planète ne mesure pas exactement l’aire. Voir le chapitre 40 pour de plus amples informations à ce sujet.

2. Alors que dans le chapitre 40 l’aire était mesurée sur un cercle qui correspondait au chemin de la planète, ici, la circonférence de notre excentrique fictif mesure des temps égaux. Dans le chapitre 40, il était possible d’additionner les distances, car chacune correspondait à des temps qui pouvaient être ajoutés les uns aux autres. Mais là, comme les distances ajoutées le long de la circonférence sont espacées par des temps égaux, il serait erroné de simplement les additionner, même si Kepler dit que la différence serait très petite. Il peut être utile d’étudier l’annexe ci-dessous pour mieux comprendre.

3. Imaginons que nous réussissions à calculer les deux aires et à définir nos proportions pour déterminer l’arc δµ. Si nous le dessinons depuis le centre, nous aurons l’angle δßµ. Mais il n’est pas possible de construire un angle de manière arbitraire. Pour plus à ce sujet, consulte le Livre I de L’harmonie du monde de Kepler.

4. Nous ne pouvons utiliser l’angle circulaire δßµ pour mesurer l’arc ovale δµ.

Annexe : Imagine que tu es capable de marcher à une allure de 3 minutes/km et de courir à une allure de 1 minute/km.

Si tu marches sur 2 kilomètres puis que tu coures sur encore 2 kilomètres, tu évolues à une moyenne de ___ minutes/km.

Si tu marches pendant 6 minutes puis que tu coures pendant encore 6 minutes, tu évolues à une moyenne de ___ minutes/km.

Quel scénario correspond au chapitre 40, lequel au chapitre 46 ?

Deuxième tentative

Il est certainement possible de déterminer la position de la planète plus directement. Pour éviter la seconde objection de la première méthode, nous pouvons mesurer l’aire balayée, non pas sur l’excentrique fictif, mais le long du vrai chemin de la planète, à la manière du chapitre 40.

« D’autre part dans le vrai chemin de la planète, la surface plane située entre l’arc du chemin et le Soleil α, est assurément de même la mesure du temps par lequel la planète se trouve sur l’arc superposé, selon le chapitre 40 ». (page 286)

L’aire εßδ mesure le temps, se déplaçant à vitesse constante le long de la circonférence de notre excentrique fictif. Si l’aire µαδ peut lui être rendue égale, alors la position µ serait la bonne position pour le temps donné.

Quand nous superposons les deux triangles, nous voyons que la quasi-totalité de leur aire est commune. Il ne nous reste plus qu’à trouver où couper la ligne ßε en η pour avoir µ au bon endroit. Ainsi on pourrait retirer εηµ du triangle εßδ et ajouter une aire égale αηß au triangle µαδ.

Problèmes

1. Encore une fois, l’aire n’est pas égale à la somme des distances (qui est la vraie mesure du temps pour Kepler).

2. Il n’est pas possible de faire cette division menant à l’aire désirée. Kepler écrit ici dans des termes quasi-identiques que lorsqu’il pose le fameux « problème de Kepler » du chapitre 60 :

« Il n’y a aucune voie géométrique qui enseigne à couper un demi-cercle dans un rapport donné par une ligne droite issue d’un point donné du diamètre ». (Chapitre 46, page 286)

« Ou : partager dans un rapport donné l’aire du demi-cercle à partir d’un point quelconque du diamètre ». (Chapitre 60, page 384)

3. Comme la planète ne se déplace en fait pas sur la circonférence du cercle, mesurer l’aire le long de ce cercle serait une erreur (µ, par exemple, ne se trouve pas sur le cercle).

Troisième tentative

Essayant d’appliquer son hypothèse ovale des distances à ses principes physiques de distance-temps et aire-temps, Kepler arrive dans une impasse :

« Donc puisque la géométrie nous abandonne, pour que nous ayons cependant la représentation de la ligne qui naît pour nous de la spéculation du chapitre 45, allons, réclamons le secours du manque d’art de notre suppléante du chapitre 16 qui porte, aux temps justes, dans les justes lieux du zodiaques (…) et confondons avec elle le présent (…), ce dont la spéculation du chapitre 45 convainc. » (pages 286-287)

Kepler combine donc les deux idées. Le cercle en pointillés noirs représente l’orbite de l’hypothèse suppléante, avec le centre en C et l’équant en D. Ce cercle va être utilisé pour déterminer la position zodiacale de la planète vue depuis le Soleil (ce qui nous donne le point H). Le cercle continu, centré autour du point B, utilise l’excentricité du chapitre 42 (ou l’excentricité bissectée proposée pour toutes les planète dans la Partie III). Ce cercle va être utilisé pour nous fournir le point F à la distance du Soleil en accord avec l’hypothèse du chapitre 45. En rabattant la longueur AF en AH, un nouveau point (rouge) est créé : c’est la position de la planète en accord avec l’hypothèse du chapitre 45.

« Donc la ligne AG sera construite par deux hypothèses manifestement fausses, pourtant dans une position vraie sous le zodiaque et convenable en longueur, par l’hypothèse du chapitre 45 ». (page 288-289)

Remarque : Cette animation, comme le diagramme dans le livre de Kepler, place C pile poil entre B et D, ce qui n’est pas correct – mais si C avait été placé à sa bonne position, plus proche de B, cela aurait rendu l’animation plus difficile à appréhender.

Cette combinaison donne une forme d’œuf à l’orbite de la planète, un œuf plus étroit à la base qu’au sommet. Ce qui est plus facile à constater en modifiant l’excentricité sur l’animation, à l’aide des touches s et x. Et les touches a et z permettent d’accélérer et de ralentir l’animation, la barre espace de faire pause.

Mais n’y aurait-il pas une manière de calculer les positions de la planète directement depuis les principes physiques de Kepler et de l’hypothèse du chapitre 45 ? La recherche continue dans le chapitre 47.