Un des principaux obstacles rencontrés dans les diverses méthodes du chapitre 46 était la différence entre l’aire du cercle et l’aire de l’ovoïde (l’ovale de Kepler prend une forme ovoïdale). De plus, les difficultés qui avaient bloqué Kepler au chapitre 40 sont réapparues – même s’il a pu déterminer l’aire de l’ovoïde, cette aire est toujours différente de la somme des distances. Il considère toutefois cette différence comme étant petite, se référant à ses calculs du chapitre 43.
Déterminer l’aire ovoïdale
Kepler se lance maintenant dans la recherche de la « quadrature de la surface plane oviforme que le chapitre 45 a fait naître ». Il fait appel à « un dieu », ou à « quelque parole divine » (page 291) pour résoudre ce problème, tellement c’est difficile. Et il décide finalement d’utiliser l’aire de l’ellipse pour approximer celle de l’ovoïde.
Dans une preuve géométrique intense (sois prêt à y passer quelques heures avec tes amis), Kepler prouve que l’aire de la lunule δολθ est égale à l’aire du demi-cercle formé par l’excentricité ßα, et qu’ainsi la largeur de la lunule est à l’excentricité ce que l’excentricité est au rayon.
En retirant cette aire de l’aire du cercle, Kepler détermine l’aire de l’ovoïde à 31 146 400 000 pour un rayon de 100 000. Il détermine aussi que 100 000 : 9 264 :: 9 264 : largeur maximum de la lunule, et trouve ainsi que la lunule a une largeur de 858 au quadrant, nombre sur lequel il reviendra plus tard.
Utiliser l’aire de l’ovoïde
Malheureusement, il reste la difficulté de diviser l’ovoïde. Car nous avons bien une approximation de l’aire entière, mais comment la diviser ?
« Mais pourtant il ne suffit pas pour leur emploi que la grandeur de la surface plane de l’ovoïde soit connue. Il est nécessaire que nous connaissions à fond la méthode de la diviser ». (page 294)
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Kepler prend à nouveau son diagramme du chapitre 40, ajoutant les lettres grecques sur la ligne en pointillés à gauche : CµνοπρD. Ce qui nous donne la largeur de la lunule. Par exemple, Eο est la largeur de la lunule au quadrant. Ce qui signifierait que l’aire à droite de la ligne pointillée CµνοπρD correspond à l’aire de l’ovoïde, mais :
« Mais cela certes, Ô géomètres, n’est pas démontré. » (page 294)
Sur le diagramme, la longueur CµνοπρD est plus longue que CED, alors qu’en réalité la circonférence de l’ovoïde est plus courte que la circonférence du cercle. Voilà encore un bon casse-tête pour les futurs géomètres !
Un autre stratagème
« Parce qu’une libre conclusion n’est pas manifeste pour nous par la géométrie, concluons avec "manque d’art" et quoi d’étonnant ? » (page 295)
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En supposant que l’orbite de la planète est une ellipse parfaite, Kepler peut utiliser un rapport de proportions entre l’ellipse et le cercle. La même proportion existe entre la perpendiculaire à l’ellipse et la perpendiculaire au cercle sur le diamètre. Quelle que soit sa position, la ligne verte garde toujours la même proportion par rapport à la ligne vert-rouge. De même, l’aire elliptique en vert est toujours proportionnelle à l’aire circulaire vert-rouge.
Ce qui signifie que nous n’avons pas besoin de savoir diviser une aire elliptique : au lieu de cela, nous pouvons utiliser les divisions d’aires circulaires !
Comme l’excentricité n’a pas changé depuis le chapitre 43, Kepler va prendre les mêmes anomalies moyenne et excentrique qu’il avait utilisées pour ce chapitre. Il y a par contre une différence pour l’anomalie égalée – la planète n’est plus vue par le Soleil sur la circonférence du cercle, mais sur celle de l’ellipse.
Aire-temps
Deux aires sont combinées pour nous donner l’aire totale balayée. Bien que la planète se trouve en fait en ν, nous allons utiliser l’aire circulaire basée sur le point B. Celle-ci est composée d’une section circulaire rouge ßBδ et d’un triangle bleu ßBα. La section circulaire est une portion de l’aire du cercle correspondant à la portion d’angle excentrique de 360°. L’aire du triangle est la moitié de la base (l’excentricité) multipliée par la hauteur (ligne BC = sinus de l’angle δßB).
Et comme l’aire mesure le temps (l’ensemble de l’aire du cercle équivaut à une année planétaire), en trouvant l’angle excentrique qui donne l’aire désirée, puis en sautant du cercle à l’ellipse, nous obtenons la position de la planète.
En route vers l’ellipse
Maintenant, considérons, cher lecteur, le moyen de trouver où le Soleil verra la planète (ce qu’on appelle la position égalée de la planète).
Le triangle αCν va nous permettre de résoudre ce problème. Nous connaissons αß, l’excentricité. Nous connaissons aussi l’angle d’excentrique δßB, son sinus est BC et son cosinus est ßC. Maintenant nous devons déterminer la longueur de νC. À cause de la proportion constante entre le cercle et l’ellipse, Bν : BC a le même rapport ici qu’à 90° d’anomalie d’excentrique, et Kepler connaît ce rapport comme étant 858 : 100 000 depuis la première moitié du chapitre.
Donc Tan(Cαν) = νC / (ßC + αß). Kepler va travailler sur ces anomalies égalées pour des anomalies excentriques de 45°, 90°, et 135°. Voilà ce qu’il va trouver :
Orbite résultante
Comme on peut le voir, l’application de l’hypothèse physique à l’hypothèse ovoïde-ellipse donne de meilleurs résultats que l’hypothèse circulaire du chapitre 43 : nous n’avons que 6’ ou 7’ de décalage là où nous trouvions 8’ (à l’octant). Et maintenant, étudions de plus près la direction dans laquelle les erreurs sont survenues dans les deux hypothèses.
« Donc des deux hypothèses physiques (…) [on obtient] des équations plus près de la vérité ». (page 298)
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