Et si l’erreur du chapitre 47 venait du fait que nous utilisons l’aire comme mesure du temps ? Après tout, Kepler ne considère toujours pas l’aire comme la vraie mesure du temps, mais seulement comme une manière commode d’ajouter un nombre infini de distances. Pour lui, le vrai principe à ce stade est que la distance au Soleil détermine la vitesse de la planète. Dans ce chapitre, il utilise une mesure du temps par la somme des distances plutôt que par les aires. Et cela a plusieurs avantages :
1. Utiliser le vrai principe de distance, plutôt que l’hypothèse d’approximation aire-temps.
2. La relation inverse ne fonctionne pas si tu additionnes des distances et que tu fais ensuite le processus inverse, ce qui se passe si tu utilises les aires. Voir l’annexe du chapitre 46 pour un exemple.
3. Additionner des distances ne pose aucun problème.
4. Comme aucune section d’aire n’est impliquée, le problème de la taille des sections d’ovoïde ne se pose plus.
« Et ainsi je me suis appuyé sur cela par une construction neuve, pour que je susse enfin si les équations (…) suivaient encore ». (page 299)
Un calcul difficile
Le chemin que prend Kepler pour appliquer cette idée est assez difficile, et nécessitera plusieurs lectures, et peut-être même l’utilisation d’un tableur Excel pour essayer de répliquer la méthode utilisée. Mais la meilleure manière de connaître la démarche de Kepler est bien sûr de la refaire soi-même.
1. En utilisant l’idée du demi-cercle fictif, déplaçons l’angle GBD à travers chaque degré de l’anomalie moyenne, et déterminons les distances AG. Additionnons ces distances pour obtenir le chemin de la planète. Kepler trouve une somme de 36 075 562 pour l’ovale entier quand l’excentricité est de 9 165.
2. Maintenant, comparons la distance à chaque degré de l’anomalie moyenne avec la distance moyenne Soleil-planète. Plus la distance est grande, moins la planète se sera déplacée dans un certain intervalle de temps. Créons le point C, qui s’est déplacé de la distance appropriée DC et est à la distance du Soleil correspondante pour cette période. DC est inversement proportionnel à la longueur AG. Et pour être en accord avec le chapitre 45, C doit être à la distance AG du Soleil. Des lignes sont dessinées de A et B et passant par C, créant les point E et F.
3. Mais comment peut-on déterminer le bon angle DBC, alors que le mouvement se fait le long d’un arc non circulaire DC, plutôt que le long de l’arc circulaire DF ?
« Il n’a donc pas suffi de connaître la longueur DC. Il a fallu encore rechercher l’angle CBD. En effet parce que CD est plus court que FD, donc CD ne mesure pas l’angle FBD, ce qui est CBD ». (page 300)
4. Kepler fait quelques approximations : il dit que CE et CF sont égales, et que l’arc EF est imperceptible. En supposant que CD = DF (ou DE), la longueur CD est donc la mesure de l’angle EBD.
5. Maintenant, calculons la longueur AE, et comparons-la à AC (= AG). La différence est CE, supposée égale à CF, qui mesure de combien l’ovoïde s’est rapproché du centre B. Le rapport AC : AE permet de mesurer de combien l’arc DC doit apparaître plus grand depuis B – la parallaxe optique.
6. Corrigeons l’angle CBD selon cette parallaxe optique. Ensuite, avec la longueur connue AC (= AG) et l’excentricité AB, la loi des tangentes peut être utilisée pour construire une table des anomalies égalées CAD pour tous les degrés de l’anomalie moyenne.
Waouh ! Quel boulot ! Et aucune anomalie ne peut être connue sans avoir travaillé sur toutes celles qui l’ont précédé.
« Je ne pense pas qu’il soit quelqu’un à qui ne se glisse pas du dégoût à partir de la lecture elle-même, en lisant cela. Mais le lecteur jugera de là combien nous aurons tiré de peines (moi et mon calculateur) qui avons appliqué trois fois cette méthode le long des anomalies de 180°, bien entendu l’excentricité étant changée autant de fois ». (page 301)
Mais il y a un problème dans tout ça…
Déterminer la distance ovoïdale
Afin de trouver la parallaxe optique pour chaque portion de l’orbite ovale, nous devons d’abord connaître la longueur totale de l’orbite. Sinon, la parallaxe sera fausse, et l’anomalie égalée pour une anomalie excentrique de 180° ne fera pas 180°.
Kepler cherchait la quadrature de l’aire de l’ovoïde dans le chapitre 47, il doit maintenant déterminer sa circonférence. Les demi-cercles DR et HK sont centrés sur B, avec les rayons BD et BH correspondant aux axes demi-majeur et demi-mineur, respectivement circonscrit et inscrit à l’ellipse en pointillés verts DR. La circonférence de l’ovoïde doit être plus grande que HK et plus petite que DR. Elle se situera donc entre les deux, mais où exactement ?
Kepler dessine ensuite 2 demi-cercles moyens : DK (en bleu, centré sur I) et OP (en rouge, centré sur B). Le cercle DK a un rayon (et donc une circonférence) qui est la moyenne arithmétique entre les rayons de HK et de DR, alors que OP a un rayon (et une circonférence) qui est la moyenne géométrique entre les deux (D’ailleurs, comment construire OP ?).
Kepler juge comme correct le fait d’utiliser la moyenne arithmétique DK. Il raisonne ainsi : le cercle de moyenne géométrique a la même aire que l’ellipse, alors que le cercle de moyenne arithmétique a un plus grand rayon (et donc une aire plus grande). Mais le cercle a la plus petite circonférence de toutes les formes géométriques pouvant recouvrir une surface donnée ; donc le cercle de moyenne géométrique, ayant une aire égale à celle de l’ellipse, doit avoir une circonférence plus courte. Il ne nous reste alors que le demi-cercle de moyenne arithmétique, dont la longueur est de 179°23’40’’ lorsque le demi-cercle KR est à 180°.
Mais…
Cette longueur arithmétique n’est qu’une estimation. Kepler doit donc faire des hypothèses pour trouver les longueurs de l’ovale et faire le tour des 180° pour déterminer s’il a choisi la bonne longueur d’ovale. Si c’est le cas, il obtiendra une anomalie égalée de 180° pour l’anomalie moyenne de 180°.
« Certes j’ai trouvé tout à fait, non par démonstration, mais par un calcul très laborieux et très persévérant (…) que tel le demi-cercle parfait est 180°, tel l’ovale serait 179°14’15’’ ». (page 302)
Ayant trouvé la longueur de l’ovale, Kepler peut maintenant utiliser sa méthode (pour une approche degré par degré, clique ici, tu auras le tableur Excel correspondant). Voilà le mouvement qui en résulte :
Le point rouge est la planète, le point bleu est la position du point F avant que la parallaxe optique du chemin ovale ne soit prise en compte. Dans quelles régions de l’orbite le point rouge bouge-t-il plus rapidement que le bleu ? Comprends-tu pourquoi ?
Résultats
Kepler peut maintenant appliquer sa fastidieuse méthode, et comparer ses résultats avec son indice de vérité, l’hypothèse suppléante.
Ces erreurs, notamment celle des 90°, indiquent à Kepler que l’excentricité de 9 165 est trop grande. Refaisant cette longue série de calculs pour une excentricité de 9 230, il obtient :
Comme dans le chapitre 47, la planète va trop vite au niveau des longitudes moyennes. Mais ces résultats sont plutôt bons – ce sont les plus proches que Kepler ait obtenus par rapport à l’hypothèse suppléante depuis qu’il a commencé à tester ses causes physiques.
« Donc puisque je semblais toujours accéder vers les équations vraies produites au chapitre 17 par l’hypothèse suppléante, cela d’autant plus près qu’il était reconnu plus habilement et plus convenablement à la méthode de conduire le calcul, aux causes physiques introduites au chapitre 45, je me félicitai beaucoup, confirmé dans l’opinion du chapitre 45.
« Au contraire, puisque j’étais mécontent des multiples "manques d’art" avec lesquels je combattis en ce chapitre, je ne cessai pas que je ne m’appuyasse sur quelque voie plus commode et plus sûre, et en même temps je commençai de soupçonner ce que l’opinion du chapitre 45 avait proposé, le résultat n’est pas même certainement ainsi par le calcul ». (page 304)
RSS 2.0
