« Mais, ô courageux, si j’avais été inquiet au sujet de l’effet, j’aurais pu surseoir à tout ce travail, me contentant de l’hypothèse suppléante, étant ainsi avisé, parce que ces erreurs auraient été pour nous le chemin de la vérité ». (Kepler, La Nouvelle astronomie, page 308, paragraphe 3)

Alors Kepler, armé de sa table des oppositions apparentes du chapitre 15 (en lieu et en place des oppositions moyennes utilisées par Ptolémée, Copernic et Brahe), est enfin prêt à s’attaquer au problème posé par la première inégalité dans le mouvement de Mars : c’est là l’objet du chapitre 16. Il commence le chapitre par un rapide résumé des différentes approches utilisées pour ce problème.

D’abord, Kepler explique que le fait de supprimer le mouvement de la Terre pour éliminer la seconde inégalité en utilisant les moments d’opposition, n’enlève pas à la planète son mouvement non uniforme. Ce qui veut dire que si l’on compare deux longitudes apparentes de Mars lors d’oppositions aux longitudes moyennes correspondantes, on trouve des vitesses inégales. Il prend en exemple les oppositions de 1591 et 1597.

Du changement de vitesse de la planète, survient l’hypothèse qu’il y a un lieu du zodiaque où la planète est à sa vitesse maximum et un autre où elle est à sa vitesse minimum – ainsi est formée la ligne des apsides. Pour rendre compte de ce mouvement, l’excentrique avait été utilisé, mais il n’avait pas donné le résultat escompté vis-à-vis des observations. Ptolémée fut donc amené à créer l’équant : « la découverte importante que le centre de l’excentrique qui porte le centre de l’épicycle est au point médian entre le centre d’observation (la Terre) et le centre de l’uniformité.  » Ptolémée divisa l’excentricité en deux parties absolument égales (voir la page L’équant excentrique).

Kepler n’a pas confiance en Ptolémée : « Et, sans une seule démonstration, il maintient quand même ce principe. » Comme Tycho, Kepler ne pense pas que le centre de l’orbite de la planète se trouve pile au milieu du segment formé par l’équant et le Soleil. Il recherche donc, par tous les moyens possibles, la nature exacte de l’orbite planétaire, pour laquelle quatre mesures d’oppositions sont nécessaires. Ptolémée et Copernic n’avaient besoin que de trois observations, car ils avaient fait une supposition de plus : le fait que le centre de l’orbite se trouve au milieu du segment formé par le Soleil et l’équant. Kepler ne part pas de cette supposition, il a donc besoin d’une quatrième observation.

Kepler n’a que deux suppositions de base :

« Il avait été pris : que l’orbite parcourue par la planète est un cercle parfait ; qu’il y a un certain point unique sur la ligne d’apside, dans une distance assurée et constante depuis le centre de l’excentrique autour duquel Mars accomplit des angles égaux dans des temps égaux. » (page 139, paragraphe 1)

Ce « point unique » dont parle Kepler, c’est le point d’équant.

L’hypothèse suppléante

Maintenant que nous sommes armés de la compréhension des observations des oppositions et de l’idée de l’équant, revivons l’hypothèse suppléante de Kepler.

Kepler utilise 4 observations, prises en 1587, 1591, 1593 et 1595. Connaissant le temps qui s’est écoulé entre ces différentes observations, et sachant la longueur d’une année martienne autour du Soleil, Kepler peut déterminer l’anomalie moyenne des observations – c’est-à-dire, les positions de Mars vues depuis l’équant. Ci-dessous une animation (qui n’est pas à l’échelle) en deux parties : à gauche, le mouvement uniforme appelé anomalie moyenne (ou longitude moyenne), observé depuis l’équant (ou horloge) ; à droite le mouvement réel de la planète. A chaque opposition la longitude moyenne et la longitude observée de Mars sont marqués. Tu remarqueras, cher lecteur, qu’il y a deux diagrammes car nous ne savons toujours pas où est positionné l’équant dans le ciel, et que les angles entre les longitudes observées et les angles entre les longitude moyennes, ne sont pas égaux – la vitesse de Mars change.

Les deux anomalies :

Note : Ici nous parlons d’anomalie moyenne et apparente, et non plus de Soleil moyen ou apparent. Dans son hypothèse, Kepler n’utilisera plus que le Soleil apparent.

Maintenant Kepler a un ensemble d’observations pour l’anomalie moyenne et l’anomalie apparente. On les retrouve dans les diagrammes ci-dessous sous la forme de lignes de vue.

Ici vous avez les vrais angles utilisés par Kepler :

Lignes partant de l’équant

Lignes partant du Soleil

Maintenant que nous connaissons, pour quatre observations, les directions vers lesquelles l’observateur et l’équant « voient » Mars, nous pouvons déterminer où se positionne l’équant par rapport au Soleil. Ici, cher lecteur, tout garanti de compréhension est annulé si tu n’imprimes pas ces diagrammes sur du papier transparent (disponibles en grand ici et ici) ! En superposant les deux jeux d’observations, tu peux te rendre compte que le déplacement de l’une des feuilles déplace le point d’intersection des lignes de vue. Ces intersections indiquent l’endroit où le vrai corps de la planète Mars se trouvait au cours des observations. Le défi est donc :

• de déplacer et bouger le transparent pour que les 4 points d’intersections (c’est-à-dire la position de Mars) se trouvent sur un même cercle ;

• de faire en sorte que le centre de ce cercle se trouve bien sur la ligne entre le Soleil et le point d’équant.

(cliquer pour agrandir)

Voilà comment Kepler pose le problème :

« Proposition : Il faut maintenant prendre les angles FAH et FCH de telle grandeur qu’avec ceux posés, et les points F, G, D, E, se tiennent sur un cercle, et le centre B de ce cercle soit entre les points C, A, sur la ligne CA. » (page 113, paragraphe 4)

Essaie par toi-même de satisfaire à ces deux impératifs. Et si tu fais des efforts honnêtes tu te rendras vite compte que c’est incroyablement difficile ! Ce que Kepler écrit à propos de cette difficulté :

« La solution n’est pas géométrique, si toutefois l’algèbre n’est pas géométrique : mais elle est faite par une double fausse position. Car l’algèbre ici nous manquera, parce que les termes de la science ayant rapport aux droites ne sont pas détournés au moyen de droites sur les angles, à moins que peut-être quelqu’un veuille mettre ensemble la doctrine tout entière des Sinus en une seule, dans cette opération. » (page 113, paragraphe 5)

De tout petits changements de position ont un impact gigantesque sur la position du point d’intersection. L’animation ci-dessous représente les 4 points d’intersections (en noir), l’observateur, c’est-à-dire le Soleil (en rouge), et l’équant (en bleu). L’observateur et l’équant sont connectés, et leurs lignes de vue respectives, avec les points d’intersections, vous aident à voir si vous obtenez bien un cercle.

Savais-tu qu’avec trois points quelconques (sauf s’ils sont sur une ligne droite), tu peux créer un et seulement un cercle qui connecte les trois points ? Essaie de voir comment, si tu ne l’as déjà fait. Cette animation crée quatre cercles avec leurs centres – un pour chaque ensemble de trois points parmi les quatre existants. Quand les quatre cercles se chevauchent, tu sais que les quatre points reposent sur le même cercle.

Alors que Kepler passera par plus de 70 itérations pour sa méthode, il n’en décrit que six dans sa Nouvelle astronomie. Clique ici pour avoir une image .pdf de ses six essais.

Utilise ce super-calculateur pour refaire les calculs que Kepler a dû effectuer :

Ci-dessous le résultat final, que Kepler considérera comme le meilleur possible, étant donné ses suppositions :

Clique ici pour avoir l’image .pdf et ainsi zoomer pour voir les infimes écarts.

Pour un cercle d’un rayon de 100 000 (centre orange au point noir), l’excentricité de l’excentrique (du point rouge au point orange) est de 11 332, et celle de l’équant (du point orange au point bleu) est de 7 232.

Vérifions l’hypothèse suppléante

« Ainsi par cette méthode, l’hypothèse de la première inégalité a été recherché à partir de quatre positions acronyques de Mars. Dans celle-ci j’ai posé cela avec Ptolémée : tous les lieux de la planète placés dans l’étendue du ciel, sont disposés sur la circonférence d’un seul cercle ; de même, le ralentissement physique est maximal dans les lieux où la planète s’éloigne le plus loin du centre de la Terre (selon Ptolémée) ou du Soleil (selon Tycho et Copernic) ; et il y a un point fixe d’après lequel la mesure de ce ralentissement est estimée. J’ai démontré tout le reste, si du moins le genre de démontrer est de conduire vers l’impossible. D’autre part il sera manifeste dans la suite si ces hypothèses prises par moi au milieu de ce qui est à démontrer, se trouvent véritablement ainsi ou autrement.

« Maintenant j’examinerai encore huit autres lieux restants, à cause de l’unanimité pour cette hypothèse. Mais pour que l’examen soit général et complet, je mêlerai encore le mouvement de l’apogée. Je rechercherai donc celui-ci le premier ». (pages 126 - 127)

Maintenant constamment son engagement à une certaine rigueur, Kepler étudie dans le chapitre 17 le changement annuel de l’aphélie et le mouvement des nœuds. Il trouve que l’aphélie bouge de 1 minute 4 secondes par an : un petit changement, mais qu’il prend en compte pour tester son hypothèse suppléante sur plusieurs années. Dans le chapitre 18, Kepler utilise les huit autres observations acronyques de 1580, 1582, 1585, 1589, 1597, 1600, 1602 et 1604 pour comparer les résultats de son hypothèse avec les positions réellement observées. Voici les différences entre les longitudes prévues par l’hypothèse suppléante et les longitudes réellement observées pour 12 oppositions (les quatre années utilisées pour créer l’hypothèse suppléante apparaissent en gras) :

1580	1582	1585	1587	1589	1591	1593	1595	1597	1600	1602	1604
0’9’’	1’34’’	1’36’’	0’16’’	2’12’’	0’51’’	0’42’’	0’14’’	0’3’’	0’18’’	1’47’’	0’27’’

                   

Les différences pour les douze années sont minimes – la majorité ne dépasse pas 1 minute, et la différence la plus grande est de 2’12’’.

Merveilleux ! « Non seulement je reproduis, mais encore je surpasse la certitude du calcul de Tycho qui était opposée pour preuve, le moyen mouvement du Soleil étant par moi abandonné ». (page 136, paragraphe 2)

Mais…

Une autre méthode pour déterminer l’excentricité : la méthode des latitudes

Tu dois maintenant comparer, cher lecteur, l’hypothèse suppléante à la méthode ptoléméenne de division de l’excentricité. Comme il a été dit plus tôt, Ptolémée gardait la même distance entre l’équant et le centre de l’orbite qu’entre l’observateur et le centre de l’orbite (excentricité bissectée), ce que Kepler ne supposa pas : comme nous l’avons vu, il trouva que ces deux distances sont différentes. Il basa ce résultat sur les longitudes acronyques observées. Mais que se passe-t-il si nous utilisons les latitudes pour déterminer l’excentricité ? C’est ce que Kepler fait au chapitre 19.

L’excentrique de Mars ne se trouve pas sur le même plan que l’écliptique (le plan de l’orbite terrestre) : il est incliné d’un angle de 1°50’ par rapport à ce dernier (cela fut déterminé au chapitre 13). Kepler prend deux observations de Mars quand celle-ci se trouve à la fois proche de ses limites (quand elle est au plus loin de l’écliptique) et proche de sa ligne d’apsides (les endroits où la planète est la plus proche ou la plus éloignée du Soleil). Ci-dessous l’animation du dessin de Kepler de la page 138, utilisant les mêmes observations que Kepler. Les points verts sont les positions de la Terre en 1585 et 1593, les points rouges sont les positions de Mars :

Animation A VENIR

Ici, le point D est le gros point rouge face à vous. Cliquez et jouez.

	(cliquer pour agrandir)

Dans le diagramme de la page 138, B et C sont les positions de la Terre, et D et E les positions de Mars (D au-dessus du plan, E en-dessous). Les angles HBD et LCE sont les latitudes mesurées depuis la Terre. Le centre rouge de l’orbite de Mars est K, et le Soleil est A.

C’est le moment de faire un peu de trigonométrie. Nous connaissons :

• L’inclinaison de l’orbite martien par rapport à l’écliptique : 1°50’ ;

• Les latitudes observées de Mars depuis la Terre ;

• Les angles des différents triangles ;

• Les distances par rapport au Soleil (qui proviennent du Progymnasmata de Tycho).

Ainsi, avec la loi des sinus, nous pouvons déterminer un autre des côtés du triangle – la distance de Mars au Soleil. Les distances de Mars au Soleil sont différentes des deux côtés de l’orbite de Mars. Et comme ici Kepler suppose des orbites circulaires, ces deux positions de Mars (avec une correction) sont les positions opposés sur le diamètre de l’orbite. Dons si nous savons où elles sont situées, nous pouvons trouver le centre K. La distance de ce point au Soleil A est l’excentricité de l’orbite de Mars.

L’hypothèse suppléante avait fonctionné avec une très bonne précision dans le chapitre 16. Mais l’excentricité qui avait ainsi été trouvée est-elle en accord avec l’excentricité déterminée par la méthode des latitudes ?

Les résultats

Excentricité de l’équant suppléante : 7232

Excentricité de l’excentrique suppléante : 11332

Excentricité totale suppléante : 18564

Excentricité de l’excentrique latitudinale : 8000 - 9943

Waouh ! La différence est grande ! Que Kepler en conclut-il ?

« Il faut donc qu’il y ait quelque chose de faux dans ce que nous avions pris. D’autre part, il avait été pris : que l’orbite parcourue par la planète est un cercle parfait ; qu’il y a un certain point unique sur la ligne d’apsides, dans une distance assurée et constante depuis le centre de l’excentrique autour duquel Mars accomplit des angles égaux dans des temps égaux. Donc de ces hypothèses, l’une ou l’autre, ou toutes les deux sont peut-être fausses. Car les observations employées ne sont pas fausses ». (page 139, paragraphe 1)

Mais attends ! Revenons sur nos résultats. L’excentricité totale (la distance Soleil-équant) pour l’hypothèse suppléante est de 18564, donc sa moitié 9282. Cela ne correspondrait-il pas avec les résultats de Ptolémée, à savoir 8000 - 9943 ? Peut-être Ptolémée n’était-il finalement pas si loin avec sa bissection de l’excentricité.

« Mais Ptolémée nous avait enseigné que sa moitié doit être donnée à l’excentricité de l’excentrique. Il y eut donc quelque chose qui l’avait troublé lui-même, et cette bissection ne doit pas être rejetée par nous puisque les latitudes observées témoignent en sa faveur ». (page 140, paragraphe 2)

Donc, pour résumer :

• Hypothèse suppléante : excentricité non-bissectée, et des résultats presque parfaits pour les longitudes (dans les limites de l’observation) ;

• Observations latitudinales : excentricité bissectée.

La prochaine question de Kepler est donc : que se passe-t-il quand nous combinons les deux idées, si nous déplaçons le centre de l’orbite obtenu par l’hypothèse suppléante pour le mettre au point médian entre le Soleil et l’équant ? Cela devrait correspondre avec les latitudes observées.

Combinaison des hypothèses

Kepler met ensemble la direction de l’aphélie et l’excentricité totale de l’hypothèse suppléante, et la bissection de l’excentricité déterminée par les mesures latitudinales, pour avoir une version bissectée de son hypothèse suppléante. Mais il perd ainsi, avec cette nouvelle hypothèse, la précision de moins de deux minutes qu’il avait auparavant. Pour l’opposition de Mars de 1582, il trouve les résultats suivants :

Suppléante bissectéeSuppléante

Observée
16°55’30’’ Cancer	17°04’45’’ Cancer	16°57’04’’ Cancer
9’15’’	← Différences →	7’41’’

Donc l’hypothèse suppléante bissectée diffère des observations de 9’15’’ , et de l’hypothèse suppléante de 7’41’’, soit une erreur d’environ 8’.

Ci-dessous deux animations de l’orbite de Mars, comparant l’hypothèse suppléante et l’hypothèse suppléante bissectée. En-haut, l’hypothèse suppléante avec une excentricité non bissectée, et en-bas la bissectée. L’équant est en bleu, le Soleil en rouge, comme plus haut sur cette page. La ligne noire qui part de l’équant se déplace à une vitesse angulaire uniforme autour de celui-ci.

Hypothèse suppléante	Hypothèse suppléante bissectée

Maintenant, superposons les deux, et prenons un peu de recul pour voir les positions de Mars sur les étoiles fixes, avec les deux hypothèses. Il y a bien deux ligne différentes mais elles sont très proches l’une de l’autre.

Clique ici pour le fichier .pdf correspondant. Et utilise le zoom pour voir la différence entre les deux lignes. Peux-tu la voir ? Kepler trouve 8’ de différence pour 1582.

8 minutes, est-ce si important ? Ptolémée aurait considéré l’hypothèse suppléante bissectée comme un succès complet.

«  (…) [une] si petite différence de huit minutes (…), et cela dans Mars dont l’excentricité est maximale ; elle est donc plus petite dans les autres planètes. Assurément Ptolémée avoue ne pas descendre en observant en-dessous de 10 minutes ou de la sixième partie du degré. Donc l’incertitude des observations ou (comme ils disent) la plage, dépasse l’erreur de ce calcul ptoléméen.

« Pour nous, puisque la divine bienveillance accorda le très consciencieux observateur Tycho Brahe, à partir des faits observés duquel l’erreur de ce calcul ptoléméen de 8 minutes dans Mars est démontrée, il convient de reconnaître et d’honorer par une pensée reconnaissante ce bienfait de Dieu. (…) Car si j’ai pensé que 8 minutes de longitude sont à mépriser, dès lors j’ai suffisamment corrigé l’hypothèse trouvée au chapitre XVI (à savoir par l’excentricité partagée en deux). Maintenant, parce qu’elles ne purent être dédaignées, ces seules huit minutes prescrivirent donc de réformer toute l’astronomie, et les matériaux d’une grande partie de cet ouvrage sont élaborés ». (page 140, paragraphes 6-7)

Et oui, Kepler considère cet échec dans ses prévisions comme un succès !

Un dernier regard

Dans le chapitre 20, Kepler utilise encore les latitudes pour déterminer l’excentricité de Mars, mais cette fois sans utiliser les observations acronyques. Libéré de cette contrainte, il utilise les observations au moment où Mars se trouve dans les positions des apsides, pour avoir une mesure précise de l’excentricité. Une fois encore, il obtient des résultats qui diffèrent de ceux de l’hypothèse suppléante. Avec ces nouvelles données, l’excentricité est trouvé entre 8 377 et 10 106, ce qui n’est pas en accord avec ce qui avait été trouvé par l’hypothèse suppléante, à savoir 11 332.

Pour être exhaustif, il réutilisera les mêmes arguments dans la forme de Tycho, utilisant le Soleil moyen dans les observations acronyques, et trouvera avec une méthode latitudinale une excentricité de 10 312, là où Tycho avait trouvé 12 352 grâce aux longitudes.

« Et ainsi il est encore montré, pour la reconstruction de Brahe, ce qui survient d’inconvénient, de sorte qu’une excentricité de l’excentrique se produit à partir des positions acronyques, une autre à partir du reste des observations ». (page 144, paragraphe 4)

Et il conclut :

« D’autre part, le seul défaut des valeurs prises porte la faute de ce désaccord entre les diverses façons de rechercher l’excentricité (que je répète plus souvent la même chose à cause de la mémoire) qui, pour moi, furent à dessein communes jusqu’ici avec Tycho et les observateurs. Car maintenant il est conclu que le point de l’excentrique dans la planète, autour duquel la planète délivre toujours des angles égaux dans des temps égaux, n’est pas certain et fixé ». (page 144, paragraphe 6)

Pourquoi, et jusqu’à quel point, une hypothèse fausse peut-elle révéler le vrai ?

« Donc le vrai ne s’ensuivait pas tout à fait de cette fausse hypothèse.

« Ensuite par la raison que ce qui n’a pas été accompli de même, et de la vraie hypothèse inconnue jusqu’ici, et de la fausse prise par nous (encore à l’égard de la seule longitude), semble être accompli de même au sens de la vue. En effet, il peut manquer très peu de chose que le sens n’atteigne pas ». (page 147, paragraphes 2-3)

Voilà qui est vrai ! Si des erreurs peuvent échapper à nos perceptions, comment savoir si nous avons tort ? (la Théorie lunatique de la Partie I, semble juste, n’est-ce pas ?)

A travers l’hypothèse suppléante, Kepler démontre, par approximation, comment construire une démonstration géométrique de l’orbite de Mars. Sans être nécessairement vraie, cette construction correspondra très bien aux observations.

Un travail détaillé de cette hypothèse géométrique peut être consulté au chapitre 21. L’animation ci-dessous représente un problème similaire : c’est une série de courbes algébriques qui, par approximation, se rapprochent de plus en plus de la forme de la chaînette, se confondant quasiment avec, mais sans jamais rendre compte du principe non-algébrique qui est à l’origine de cette courbe.

Tout comme la fausse courbe algébrique peut presque ressembler à une chaînette (courbe non-algébrique), les hypothèses planétaires géométriques semblent coïncider, dans les prévisions qu’elles fournissent, avec les vrais orbites causés par des principes non-géométriques :

« Ainsi même, il est visible jusqu’où et comment le vrai s’ensuit de faux principes, c’est-à-dire ceci : que dans ces choses le faux est particulier et peut être absent, parce qu’il fait naître véritablement la nécessité de la vérité : sous un point de vue général, il est le vrai entièrement.

« Enfin comme ces faux principes sont seulement convenables pour certains lieux à travers tout le cercle, ainsi le vrai ne s’ensuit pas tout à fait en deçà de ces lieux mêmes, si ce n’est dans la mesure où il arrive dans ce travail de manière qu’une différence ne puisse davantage être estimée par la finesse des sens. » (page 150, paragraphes 1-2)

« Ainsi par ce mélange bien dosé des causes variées, il arrive que le calcul soit amené dans l’intérieur de la précision des sens, une erreur compensant l’autre, et que la fausseté particulière de l’hypothèse ne puisse être perçue. C’est pourquoi cette fine courtisane extraite de sa maison close ne pourrait se glorifier aux dépens de la vérité (fille très pudique). Une certaine femme honnête suivait péniblement une courtisane à cause de l’étroitesse des chemins et de la foule des hommes : les sots et aveuglés maîtres des subtilités de la Logique qui ne peuvent pas discerner un front ingénu d’un impudique, crurent qu’elle était la suivante de la courtisane ». (page 150, paragraphe 6)

Kepler a déterminé que l’équant n’existe pas. Mais pourquoi ce point semble-t-il correspondre si bien à la réalité ? Quelle vérité nous est cachée par cette ombre ? C’est ce à quoi nous nous attaquerons dans la Partie III.

« C’est pourquoi ce que nous avions édifié en premier à partir des observations de Brahe, à partir d’autres observations de lui-même nous l’avons ensuite ruiné au rebours ; parce qu’il est nécessairement arrivé pour nous que quelques probabilités s’en sont suivies, mais en réalité fausses (à l’imitation des premiers pionniers) ». (page 151, paragraphe 1)