Le cercle

Voici représentée une tentative d’atteindre le cercle en augmentant le nombre des côtés d’un polygone :

À la fin de l’animation, le polygone a 48 côtés. Est-on loin du cercle ?

La chaînette

Une chaîne suspendue :

Galilée pensait que la forme d’une chaîne suspendue était une parabole. Ci-dessous, une parabole superposée à la forme d’une chaîne suspendue :

Galilée était-il loin ?

Les orbites planétaires

Nous allons finir la Partie III par une comparaison directe entre une explication géométrique du mouvement des planètes, et une compréhension physique de la chose. Kepler, au chapitre 4, disait :

« Et ainsi le point d’équant n’est rien d’autre qu’un court artifice géométrique pour poser les équations provenant directement de l’hypothèse physique. » (page 18)

La Partie II, avec l’échec de l’hypothèse suppléante, démontre que l’équant n’existe pas. Dans le chapitre 32, nous trouvons l’ombre du principe physique que l’équant approximait :

« Qu’il sache d’abord que dans cette forme construite par toute l’hypothèse ptoléméenne, l’excentricité sera de n’importe quelle grandeur, que la rapidité au périhélie et la lenteur à l’aphélie sont proportionnées le plus possible aux lignes menées du centre du monde vers la planète. » (page 211)

Cet effet du principe de gravitation nous donne un moyen de mesurer le temps nécessaire à la planète pour parcourir un certain arc. Et comme le temps mis à parcourir un arc le long d’une infime partie de la circonférence est proportionnel à la distance au Soleil, la somme des distances au Soleil nous donne le temps écoulé.

« Donc puisque les délais de la planète dans des parties égales de l’excentrique sont successivement dans ce rapport dans lequel sont les distances mêmes de ces parties, cependant chaque point change de distance dans tout le demi-cercle de l’excentrique ; je n’ai pas pris pour moi une légère opération de rechercher comment pourraient être obtenues les sommes de toutes ces distances séparément. En effet, à moins que nous ayons la somme de toutes les distances qui sont pourtant en nombre infinis, nous ne pourrons dire combien grands seront les délais ; c’est pourquoi l’équation sera ignorée. En effet, comme toute la somme des distances est au temps total périodique, ainsi une partie de la somme des distances en tel nombre que tu voudras est à son temps.

« Donc au début l’excentrique est coupé en 360 parties comme si celles-ci étaient de très petites particules, et j’ai posé que rien ne serait changé en distance dans une partie de ce mode. (…) Donc comme la somme des distances est à la somme des temps, ainsi j’ai fait se trouver la distance qu’on veut à son temps ». (pages 247-248)

Pour avoir la somme des distances, Kepler adopte donc l’approche d’Archimède :

« Et quoique je sache que les points de l’excentrique sont en nombre infini, et leurs distances en nombre infini, il s’est présenté à l’imagination que toutes ces distances de l’excentrique sont contenues dans une surface plane. Car je me souvenais qu’Archimède découpa jadis ainsi le cercle en une infinité de triangles (…). C’est pourquoi, pour la raison que je coupais avant la circonférence en 360 parties, alors j’ai coupé le plan du cercle excentrique en tout autant de lignes. » (p248)

Kepler utilise une aire (une figure plane, pas une ligne) pour mesurer le temps :

« Il me semble conclure de là (…) pour la somme en nombre infini des distances (…) ; non qu’il puisse être passé outre à l’infini, mais parce que je pense que la mesure de la faculté rassemblée par laquelle les distances produisent de l’effet en vue des délais à accumuler, se trouve dans cette aire, de telle sorte que nous puissions l’obtenir par la connaissance de la surface, abstraction faite du dénombrement des très petites parties (…) C’est pourquoi l’aire CGA sera faite la mesure du temps. » (pages 248-249)

Maintenant, comparons l’hypothèse temps égaux - aires égales (en bleu) à l’hypothèse approximative de l’équant (en rouge) pour la Terre :

Excentricité = 0.3

Une autre vue, de bien plus loin. La ligne bleue est la projection du Soleil vers la Terre par l’hypothèse temps égaux - aires égales, et la rouge pour la théorie de l’équant.

Excentricité = 0.1, approximativement l’excentricité de Mars :

Il devient difficile de les séparer, n’est-ce pas ? Prenons un peu de recul pour une meilleure vision :

Clique ici pour voir le fichier .pdf sur lequel il est possible de zoomer.

Cela donne une idée de des raisons pour lesquelles l’équant semble fonctionner si bien – à cause de l’excentricité des planètes, le chemin planétaire selon l’hypothèse de l’équant est très proche du chemin pris selon le principe physique de la gravitation. De la même façon, le polygone était proche du cercle, et la parabole de la chaînette. L’équant, le polygone et la parabole ne représentent pas des vrais principes, connaissables.