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Le courage de Kepler

théodore — 2010-08-15T22:16:06Z

Le Théétète

Tu peux toujours prendre un peu de recul sur l'impasse dans laquelle tu t'es fourré. Il est de bon ton, dans ce genre de moment, d'aller trouver un ami prêt pour une longue discussion, le compagnon idéal dans ce genre de moment. Quel que soit le sujet, la conversation sera alors déterminée par des questions sous-jacentes : à quoi sert-il d'avoir choisi de vivre un combat pour la vérité ? Quel sens y a-t-il à appeler les gens à rejoindre cette lutte ? Quelle signification cela prend-il lorsque ceux qui étaient parmi les plus engagés hier décident de ne plus rien faire aujourd'hui ? Et au-delà, d'un point de vue plus personnel : les années passant, qu'est-ce que cela veut dire, de savoir se maintenir sur un chemin si peu fréquenté ?

Si c'est un bon ami, il pourrait très bien commencer à te parler du Théétète, te disant que c'est l'un des meilleurs dialogues de Platon : c'est le seul où l'on voit Socrate engagé avec un esprit comme le sien. Il dévoile tout le potentiel d'un dialogue entre deux esprits jeunes. Platon fait des efforts considérables pour rendre explicite cette similarité entre les deux protagonistes. Et ce même si Théétète est au début de sa vie et Socrate à la fin de la sienne : lorsque le dialogue se termine, il se rend au procès auquel il va être condamné à mort.

Mais le récit s'ouvre en fait quelques années après, deux amis se remémorant le dialogue alors que Théétète est sur le point de mourir, suite à une bataille après les guerres du Péloponnèse. C'est donc un récit de quelque chose qui s'est déjà passé. Socrate avait raison de dire que Théétète aurait été un grand homme s'il avait vécu longtemps. Mais ni Socrate ni Thééthète ne vécurent aussi longtemps qu'ils auraient dû, à cause de la folie dans laquelle la société athénienne était tombée. Le dialogue affirme donc une réelle espérance en l'avenir tout en reconnaissant une profonde tragédie qui s'est déroulée dans le passé.

Si le drame est situé dans le temps, le contenu de la discussion est, lui, en-dehors du temps. Les arguments développées sur la connaissance sont éternels ; et n'importe qui établissant une différence entre les sens et l'esprit, peut comprendre ce dont parlaient Socrate et Théétète ce jour-là. Mais le plus drôle, c'est que Théétète, dont l'esprit porte en lui tout le potentiel du futur, petite pousse qui commence tout juste à montrer ses feuilles, Théétète, le seul exemple que nous ayons réellement d'un esprit qui correspond si bien à celui de Socrate, à la recherche d'un but commun de vérité, Théétète, qui devrait être notre exemple, se trompe ! Il a tort tout le long du dialogue !

Quand Socrate engage la conversation, la première déclaration de Théétète n'est pas vraiment réfléchie. N'aurait-il pas dû pouvoir faire mieux ? Il n'avait jamais rencontré Socrate auparavant, mais il avait entendu parler de lui et de toutes les questions qu'il posait, c'est lui-même qui le dit. Son professeur, qu'il respecte beaucoup, vient de lui faire les plus grandes louanges de Socrate. Et la seule chose qu'il trouve à répondre à la question : « Qu'est-ce que la connaissance ? » est une liste des sujets que l'on peut connaître ! C'est ce qu'on fait tous lorsqu'on commence à être mis face à ce type de questions. Théétète donne des cas particuliers au lieu de répondre sur les principes généraux. Ne devrait-il pas connaître ce genre de pièges de la pensée ?

Socrate rectifie le tir. Théétète parle alors de la découverte qu'il vient de faire en géométrie, en trouvant avec ses amis un concept général sous lequel tombent les cas particuliers. On se souvient en général très bien de cette partie, mais on ne réalise pas toujours ses implications.

Premièrement, ça indique que Théétète comprend ce que Socrate demande. Deuxièmement, le processus d'analogie utilisé par Théétète montre qu'il a une tournure d'esprit intéressante. Sans description, mais par démonstration, Platon révèle l'acuité de l'esprit de Théétète. En outre, il montre que, même si la découverte mathématique de Théétète est valide, même si l'analogie utilisée est bonne parce qu'elle représente bien l'action de la pensée dans la découverte, les découvertes géométriques ou mathématiques sont bien plus limitées et moins fondamentales, que les découvertes sur la nature de la découverte elle-même.

Socrate poussant plus loin, la deuxième tentative de Théétète ne se révèle pas bien meilleure que la première. Il donne à nouveau une opinion plutôt répandue dans la population : la connaissance c'est la perception. Les gens composant le groupe autour de Socrate et Théétète pensent tous cela, mais ils le cachent car ils ont trop peur d'avoir tort. Théétète est différent : il a le courage d'avoir tort. Les autres se ficheront peut-être de lui au début, mais ils seront bien eus en leur for intérieur lorsque Socrate exposera leur propre stupidité. Or, Théétète est plus engagé envers la vérité qu'envers son hypothèse de départ ou qu'envers la perception que les gens auront de lui. Cette audace est encouragée par Socrate.

Platon nous permet ensuite d'établir une comparaison. A Théodore, le savant, le maître des arts libéraux, professeur de géométrie de Théétète, ami de Protagoras (grand sophiste qui clamait que la connaissance c'est la perception), Socrate demande s'il a une meilleure idée de ce qu'est la connaissance. Et là le dialogue devient très drôle. Socrate a beau essayer de le faire rentrer dans la conversation, Théodore tente de s'échapper à tout prix : « Eh bien, est-ce que Théétète ne te suivra pas mieux dans cet examen que beaucoup de gens qui portent de grandes barbes ? »

Bien sûr, le vrai courage n'est pas de simplement affirmer ce que l'on pense. Ce n'est là que la première étape. La suivante est plus délicate : une idée doit être examinée avec soin, ses rouages exposés, et sa viabilité déterminée – et Socrate a raison lorsqu'il dit qu'il est la sage-femme de l'âme des gens, les délivrant de leur progéniture intellectuelle, car une idée est la création d'un individu. Peut-elle résister aux tests de tous les hommes de tout temps ? Peut-elle même passer le test d'un esprit un peu affuté ?

Le courage de Kepler

Cette exploration, qui devait être une étude de la preuve de Kepler de l'inconstructibilité de l'heptagone, s'est transformée en exploration de la nature de la pensée et de l'hypothèse.

Ose être sage ! Il faut l'énergie du courage pour lutter contre les obstacles que l'indolence de la nature et la lâcheté du cœur opposent à l'enseignement de la vérité. Un vieux mythe plein de signification montre la déesse de la Sagesse surgissant toute armée de la tête de Jupiter ; dès son premier acte elle est belliqueuse. Dès sa naissance elle a à soutenir un dur combat avec les sens, qui ne consentent pas à être arrachés à leur douce quiétude. Le plus grand nombre des hommes sont beaucoup trop fatigués et lassés par leur lutte contre les privations pour être capables de rassembler leurs forces en vue d'une lutte nouvelle et plus dure contre l'erreur. Satisfaits d'échapper à l'âpre labeur de la réflexion, ils laissent volontiers s'exercer une tutelle sur leurs pensées et s'il arrive que des besoins supérieurs s'agitent en eux, ils saisissent d'une foi avide les formules que l'Etat et les prêtres tiennent en réserve pour cette circonstance ». (Schiller, Lettres sur l'éducation esthétique de l'homme, Huitième lettre)

Kepler ose. Et il établit son immortalité au milieu des circonstances les plus graves. La guerre de Trente Ans commence, la société devient folle, mais Kepler ose publier L'Harmonie du Monde, proclamant que l'univers est rempli de beauté. Malgré les grands conflits des affaires humaines, il écrit :

C'est un fait que la croyance était digne d'un homme Chrétien, qu'il y a un Dieu qui règle toutes les mélodies de la vie humaine, et qu'une patience digne de la grandeur de Dieu, n'est pas offensée par l'abondance des dissonances, ni ne rejette les espoirs ; calculant que ce n'est pas la providence de Dieu qui agit lentement, mais l'espace de durée de nos vies individuelles qui s'envole rapidement. Pour ma part j'appris des oracles sacrés que toutes les choses sont destinées par Dieu à des emplois déterminés et salutaires, même les dissonances : ces choses sont encore pour révéler et faire valoir la douceur de la Consonance. (…) Je me proposais donc de chanter d'autant plus fermement pour mes Harmonies du Monde. » (L'Harmonie du Monde, Dédicace)

Les meilleurs amis de Kepler se sont tous montrés trop peureux pour se battre contre l'opinion publique, alors qu'il demandait à placer la raison au-dessus des « torrents de la fantaisie populaire ». Le temps passant, son professeur Maestlin, qui lui avait appris le système copernicien à l'université de Tübingen, prit de plus en plus peur. Maestlin finit par abandonner Kepler, par peur que les controverses soulevées en permanence par son disciple ne lui créent plus de problèmes.

Et Toi avant tous, heureux vieillard Maestlin ; et en effet tu avais coutume d'animer d'espoir ces soucis par des paroles ». (Note de fin de L'Harmonie du Monde, page 286)

Malgré tout l'amour montré par son formidable disciple, Maestlin, qui survivra à Kepler, n'admettra jamais publiquement ses découvertes. Après la mort de Kepler, il écrira un Epitome d'astronomie où il soutiendra le système ptoléméen. Terrorisé, Maestlin enseigne ce qu'il sait être faux : que la Terre est au centre de l'univers et que le soleil tourne autour, et ce quinze ans après que Kepler ait prouvé que c'est le soleil qui se trouve au centre et que c'est là la cause physique du mouvement des planètes.

Tout ce que je déclare, je le crois intérieurement : il n'y a pas de croix plus lourde pour moi que de ne pouvoir exprimer mes sentiments les plus profonds – je ne dis pas ‘de dire ce qui est contraire à mes pensées' ». (Kepler, Epitome d'astronomie copernicienne)

A cause de ses déclarations allant toujours à l'encontre de l'opinion commune, Kepler se voit refuser le droit de communier au sein de l'Eglise protestante. Bien qu'il soit devenu Mathématicien impérial du Saint empire romain germanique, Kepler ne s'est jamais converti au catholicisme. Même si sa vie en aurait été facilitée, il refusa, pour la simple raison qu'il ne voulut à aucun prix abandonner la foi dans laquelle il avait été élevé et qui l'avait porté tout au long de sa vie. Lui qui passa son temps à essayer de percer les mystères de l'œuvre du Créateur ne put donc jamais communier avec ses pairs. Et malgré tout, il n'hésite pas à dire :

[Le fait que l'heptagone soit inconnu, même de Dieu], ne doit pas être pris pour blasphème. Un de mes amis, très habile en mathématiques, a estimé que ce devait être omis. Mais rien n'est plus répandu parmi les Théologiens que le fait qu'il y a des choses impossibles qui entraînent une contradiction : et la science de Dieu ne s'étend pas vers de telles choses impossibles, surtout quand les rapports formels des choses Géométriques ne sont rien d'autre que l'essence elle-même de Dieu ; parce que tout en Dieu est éternel, cette chose est inséparable de l'essence divine : donc ce serait Le connaître autrement qu'Il est, s'il connaissait les choses incommunicables comme étant communicables. Et quel servitude ce serait, à cause des incompétents qui ne liront pas ce livre, de passer outre le reste ! » (page 45)

Et à la fin du livre, il révèle toute la considération qu'il porte envers ses lecteurs :

Mais pourtant, en quelque nombre que vous tombiez dans la lecture de ce livre, pénétrés par les disciplines Mathématiques et par la connaissance de la philosophie, je vous appelle tous : poursuivez actifs, et rompez une des Harmonies qui ont été partout liées entre elles, remplacez-la par une autre, et voyez si vous vous approcherez de l'astronomie établie au chapitre IV ; ou bien essayez rationnellement de construire quelque chose de meilleur et convenant mieux aux mouvements des astres, et renversez tout ou partie de la disposition que j'ai employé. Que tout ce qui contribue à la gloire de notre Créateur et Maître, vous soit également permis par ce mien livre ; et j'ai moi-même pris la liberté jusqu'à cette heure de changer çà et là les choses que j'ai pu saisir, conçues maladroitement par le soin indolent des premiers jours ou par l'ardeur empressée. » (page 376)

Larouche

Comme je l'ai dit à de nombreuses reprises, ce qui est particulier avec Kepler, c'est qu'il est en fait le fondateur de l'application de la science physique moderne ; depuis des années la plupart des universitaires n'ont rien su de Kepler. Beaucoup de gens qui se considèrent comme des scientifiques sont finalement incompétents en astrophysique et dans les disciplines qui y sont liées, pour cette simple raison. Ce qui est singulier avec Kepler – hormis l'originalité de son travail, comme l'a souligné Albert Einstein plus tard – est que dans ses écrits, il accompagne le lecteur à travers toutes les étapes et les données du problème. Ainsi le lecteur doit cheminer à travers ce que Kepler lui-même a éprouvé et faire la découverte lui-même, contrairement à ce que l'on peut obtenir d'une simple répétition de formule et d'un rapide baratin, dans une université d'aujourd'hui ». (Lyndon LaRouche, réponse à une question lors d'une conférence internet, 11 janvier 2007)

Quittons-nous temporairement sur cette phrase lancée par Socrate à Théétète :

C'est la vraie marque d'un philosophe que le sentiment d'étonnement que tu éprouves. La philosophie, en effet, n'a pas d'autre origine. » (Théétète)

La trisection de l'angle

théodore — 2010-08-15T22:04:28Z

Nous avons été confrontés au cours de notre démarche à un problème que nous n'avons pas réussi à résoudre : la trisection d'un angle ou d'un arc circulaire dans le plan. La méthode que nous avions testée était très simple : la projection.

« Comment cela se fait-il ? », ai-je demandé un jour à un ami. « Je pensais que trisecter un angle nécessitait de trouver deux moyennes entre deux extrêmes.
– Aha ! me répondit-il. Le cercle fournit deux avantages : l'un est qu'il présente, au contraire de l'ellipse, une courbure constante ; l'autre est qu'il y a déjà un angle qui peut être trisecté facilement : un hexagone divise 180° en trois parties égales.
– Que proposes-tu alors ?
– Peux-tu me dire quelle autre figure a une courbure constante ?
– …
– La ligne ! Sa courbure est toujours égale à 0 ! Ne sais-tu pas trisecter une ligne ?
– Si, répondis-je. » Et voici ce que je dessinai :

« On sait que cette ligne est coupée en trois parties égales, repris-je, tout comme celle que j'ai réalisée en la triplant, car les triangles rouge et bleu sont similaires : ils ont en commun l'angle au sommet et comme les deux lignes sont parallèles, les angles de la base sont égaux. Donc la partie a est à la grande ligne ce que la partie b est à la petite : 1/3.

– Et qu'est-ce qui fait que ça marche ?
– Je suppose que c'est en rapport avec les propriétés d'un triangle plan, et probablement avec le fait que toute ligne est similaire à toute autre.
– C'est vrai. Et tous les arcs circulaires ont une courbure constante, peu importe leur taille, n'est-ce pas ? Donc en reprenant ta méthode, nous pouvons l'appliquer au cercle. » Et il me dessina ceci :

« Nous commençons avec un angle et un arc de 180° déjà trisectés, et en projetant la division sur un autre arc circulaire de centre A, nous projetons la trisection sur le nouvel arc.
– D'accord, mais comment est-on sûr que les trois angles changent de la même façon ? Dans le cas de la ligne, quelle que soit la distance séparant mes deux lignes, les trois segments gardent la même proportion entre eux, car les deux triangles sont similaires. Mais tes trois petits arcs sont déterminés par les trois angles. Je vois bien qu'ils sont égaux au début, mais maintiennent-ils la même proportion l'un envers l'autre lorsqu'on éloigne l'arc qui doit être trisecté ?
– Bonne question, me répondit mon ami. Comment pourrait-on y répondre ?
– Eh bien… Que se passe-t-il si le sommet de l'angle est très éloigné du diamètre du cercle ? »

« On devrait pouvoir connaître les valeurs exactes de ces angles.
– Hmm… fit mon ami. Tu viens de montrer que les angles ne varient pas de la même façon. Pourtant avec la ligne ça fonctionnait… »

Comme j'avais sous la main mon exemplaire illustré du Secret du Monde, je l'ouvris au chapitre 2 :

Or si Dieu a voulu que la quantité existât avant toutes choses, c'est pour qu'il y eût une comparaison entre le Courbe et le Droit. En effet, le Cusain et d'autres philosophes me semblent tout simplement divins pour la simple raison qu'ils ont fait très grand cas de la relation droit-courbe et qu'ils ont osé comparer le Courbe à Dieu et le Droit aux créatures, si bien que ceux qui tenteraient de mettre sur le même plan le Créateur et les créatures, Dieu et l'homme, les jugements divins et les jugements humains, ne feraient pas un travail beaucoup plus utile que ceux qui ont tenté d'assimiler le droit au courbe, et le cercle au carré. »

Variation illimitée

Il existe un point dans les animations ci-dessus où à la fois l'angle et la ligne sont trisectés.

Si la corde sous-tendue à l'arc est coupée en trois parties égales, et que les lignes la divisant sont perpendiculaires à la corde, la partie du milieu de l'arc sera plus petite que les latérales ; d'autre part si les lignes sont issues du centre de l'arc [c'est-à-dire du centre du cercle dont l'arc fait partie], la partie du milieu de l'arc sera plus grande que les latérales. Donc entre la distance infinie et le centre du cercle, il y a un point à partir duquel deux sécantes étant menées, elles couperaient en trois parties égales, et la sous-tendue, et son arc ». (page 47)

Si on balaye le demi-cercle tout en gardant la trisection de l'angle, la division de la corde sous-tendant l'angle change, le segment situé au sein de l'angle intérieur devenant de plus en plus petit, jusqu'à disparaître.

Mais si on maintient la trisection de la corde, l'angle du milieu devient de plus en plus grand.

Ici, nous voyons bien qu'il y a un point auquel nous pouvons dessiner des lignes qui trisecteront simultanément la corde et l'angle. Kepler dit que plus ce point s'éloigne, plus l'arc (angle) que nous voulons trisecter rétrécit. A-t-il raison ?

Angle doublé

La construction de Pappus, qui repose sur l'hyperbole, nous échappe toujours. Mais autant que nous puissions le comprendre, sa construction repose sur un triangle spécial construit de sorte à ce qu'un angle soit le double de l'autre. Le triangle isocèle qui est le triangle élémentaire du pentagone – le triangle de la section d'or – est un triangle particulier. En fait, tout polygone constructible contient un tel triangle : l'angle au centre du cercle (égal à celui du polygone, situé sur le périmètre du cercle), qui sous-tend le plus long côté du triangle élémentaire, se retrouve toujours trisecté (ce côté du triangle élémentaire est la corde sous-tendant un arc de cercle coupé par trois côtés du polygone) alors que l'angle de la base du triangle (qui est le double de l'angle au sommet), est bissecté.

Le triangle rouge est le triangle élémentaire. L'arc en bleu représente l'angle trisecté. Le segment qui se dessine représente la bissection de l'angle qui se trouve à la base du triangle élémentaire. Note : quelque chose de particulier se produit lorsque l'angle trisecté est plus grand que deux angles droits.

Mais [le fait que tout polygone contient un angle trisecté] n'est pas fait à cause de la nature de la Trisection (…), mais par accident et à cause des autres propriétés des figures au sujet desquelles nous avons traité jusqu'ici ». (page 47)

Le problème n'est pas simplement celui de la trisection, mais celui de la division d'un arc autrement que par bissection.

En effet, bien que la droite sous-tendue à l'arc puisse être coupée en autant de parties égales que l'on veut, et cela Géométriquement, on ne peut déduire la proportion des parties de l'arc de la proportion de la ligne sous-tendue [après la bissection] ». (page 47)

La vitesse à laquelle les parties de la ligne et la longueur de l'arc changent sont différentes, même s'il y a un point de coïncidence entre trisection de la ligne et trisection de l'arc.

Assurément ce point est toujours d'autant plus éloigné de l'arc, que l'arc de cercle à couper en trois est plus petit. Donc puisque l'arc de cercle pourrait être diminué à l'infini, la distance de ce point courra dans l'infini. Or il n'y a aucune science de l'infini ou de variété infinie. Et cette difficulté touche la Trisection, qui, en outre, est plus simple : une difficulté beaucoup plus grande naît dans les sections suivantes de quelque arc, par exemple en 5, 7, 10, 11… parties égales ». (page 48)

Là où nous pensions que le paysage s'ouvrirait, le chemin devient plus obscur. Est-il utile de s'aventurer dans de telles broussailles ?

Il faut bien se rendre à l'évidence : dans toute investigation scientifique, il est nécessaire de se sentir parfois perdu et d'avoir l'impression de perdre son temps. Quiconque a travaillé sérieusement sur La Nouvelle astronomie de Kepler a été étonné du nombre de fausses routes qu'il a dû prendre au cours de son investigation, et du nombre d'années qu'il a perdues dans des idées qui en tant que telles se sont finalement révélées stériles.

Pourquoi lui semble-t-il nécessaire de nous amener dans des impasses qu'il connaît déjà ? D'où les fruits germent-ils finalement ? Quelle différence y a-t-il entre le germe fertile d'une idée et toutes les graines stériles et les impasses qui l'ont précédée ? Qu'est-ce que le processus d'hypothèse ?

Il ne faut surtout pas laisser la petite voix nous dissuader d'aller plus loin.

Dürer et le nonagone

Il y a des surfaces que Kepler ne décrit pas mais dans lesquelles nous ne pourrions pas encore nous aventurer. Mais après tout notre travail, sa réfutation de la construction de la construction de l'heptagone d'Albrecht Dürer et sa preuve de l'inconstructibilité du nonagone paraissent évidentes.

Ces deux animations parlent d'elles-mêmes :

Aucune erreur dans le raisonnement de Kepler n'apparaît donc ici. En tout cas, on voit bien comment Kepler est prêt à laisser son esprit s'aventurer sur n'importe quel terrain, ne répugnant jamais à affronter un problème, quel que soit son degré de difficulté.

Les coniques

théodore — 2010-08-14T16:12:38Z

Le cône rectangle

De quel type de cône Ménechme a-t-il tiré toutes ces sections ?

Si les coupes conçues par Ménechme sont issues d'un cône dont l'angle au sommet est droit (cône rectangle), l'hyperbole fonctionne parfaitement. Et si les côtés du cône sont les asymptotes, alors la coupe spécifique que nous recherchons est celle qui crée un carré de 2 au sommet de l'hyperbole. La longueur le long de l'axe du cône est toujours égale au rayon de la coupe circulaire du cône à cet endroit, car toute coupe verticale sur l'axe du cône produit un triangle isocèle rectangle, dont les côtés sont les côtés du cône et dont l'hypoténuse est le diamètre de la base du cône. Donc il s'agit simplement de définir une longueur de racine carrée de deux qui tombe le long du côté du cône, et de réaliser une coupe verticale à ce point, qui devient alors le sommet de l'hyperbole. La proportion de la base de l'hyperbole au diamètre du cône peut alors être facilement trouvées, tout comme un tas d'autres données :

Cette animation montre que le cône rectangle peut être conçu comme étant le résultat de la révolution d'un triangle rectangle autour d'une de ses jambes. La jambe autour de laquelle il tourne définit l'axe du cône, son hypoténuse définit le côté du cône, et l'autre jambe devient le rayon de la base circulaire du cône.

C'est aussi simple que ça, une section hyperbolique.

La section parabolique

La parabole cause bien plus de problèmes. La question est de savoir à quelle distance du sommet on doit effectuer la coupe. Si la coupe est parallèle à un des côtés du cône, alors l'axe de la parabole forme un angle droit par rapport à l'autre côté. Dans la parabole que nous recherchons, lorsque la longueur le long de l'axe depuis le sommet est de 2, la longueur perpendiculaire à la courbe est également de 2, que nous avons définie précédemment comme un moment de singularité. Ce qui signifie qu'à ce point de l'axe de la parabole, où s'intersectent la coupe parabolique et une coupe horizontale circulaire du cône, la distance entre le diamètre du cercle et le périmètre, et la distance entre le diamètre du cercle et la courbe de la parabole, sont de 2 également. Et nous savons que la longueur le long du côté du cône entre le sommet de la parabole (qui est le point d'entrée de notre coupe) et la coupe circulaire est de 2. Donc là où l'axe de la parabole et le côté du cône s'intersectent, la base circulaire forme un triangle isocèle rectangle dont les côtés égaux mesurent chacun 2 et dont on connaît l'hypoténuse. Une relation proportionnelle est ainsi créée dans le cercle, nous permettant de déduire ce que doit être le rayon du cercle à ce point. Sachant que dans le cône rectangle, le diamètre d'une coupe circulaire est l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle dont les côtés sont les côtés du cône, nous pouvons déterminer quelles sont les longueurs des côtés. Nous savons alors que la distance entre le sommet du cône et cette base circulaire est de 2, le long des côtés du cône :

Voici une coupe parabolique d'un cône. Le cône est défini par une série de coupes circulaires parallèles à travers lesquelles passe la parabole. Coupe parabolique d'un cône. Chaque ligne bleue a une longueur de 2. Nous ne savons pas à quelle distance du sommet du cône réaliser la coupe, mais nous savons que si l'axe de la parabole a une longueur de 2 et que nous prenons une longueur de 2 le long du côté du cône, nous aurons un triangle rectangle équilatéral dont l'hypoténuse sera de 2√2. Cette hypoténuse coïncidera avec le diamètre de la base du cône. Nous savons également que pour cette parabole, lorsque la longueur le long de l'axe est de 2, la distance à la courbe est également de 2. Nous pouvons alors utiliser les relations qui déterminent la distance séparant le diamètre de la base du cône et ce point de la parabole. De ce que nous connaissons, la longueur de 2 (qui est la distance de l'axe de la parabole au point de cette parabole) est la moyenne proportionnelle entre la longueur orange inconnue et le segment violet, qui mesure 2√2.

Une fois déterminé le diamètre de la base du cône, nous savons qu'il est l'hypoténuse d'un autre triangle rectangle isocèle dont le sommet est le sommet du cône et dont les jambes sont les longueurs s'étendant le long du côté du cône jusqu'à sa base. Maintenant nous pouvons trouver la longueur du côté, du sommet à la base. Nous savons alors que le point où nous voulons effectuer notre coupe parabolique se trouve à une longueur de 2 de la base.

Finalement, nous voyons que les différentes coupes parallèles produisent des paraboles différentes, chacune d'entre elles étant définie par un moment de singularité différent : l'axe de la parabole et la longueur entre le sommet de la parabole et la base du cône (le long du côté) sont égales.

Ces cônes ont été réalisés par Larry Hecht pour démontrer une seconde solution au doublement du cube, attribuée également à Ménechme. Dans cette solution, il trouve les deux moyennes proportionnelles entre 1 et 2 en faisant s'intersecter deux paraboles, plutôt qu'une parabole et une hyperbole.

Mais la coupe hyperbolique fonctionne-t-elle vraiment ?

On pourrait penser que s'arrête notre chemin de traverse s'arrête là, et qu'on va pouvoir reprendre notre route principale. Mais si on s'arrête un instant pour réfléchir et respirer, on risque fort de se souvenir que les Grecs n'auraient effectué que des coupes perpendiculaires au côté du cône. Il semblerait que ce n'est que plus tard, à l'époque d'Archimède, que d'autres coupes furent considérées comme possibles. Le cône rectangle serait ainsi associé seulement à la parabole. L'ellipse aurait été générée ensuite avec des cônes aigus, et l'hyperbole avec des cônes obtus. Or, il y a une infinité de cônes obtus : comment découvrir le bon, celui qui permet de générer l'hyperbole ?

Lorsque le sommet du cône s'élargit, la coupe perpendiculaire au côté passe du cercle, qui n'existerait qu'en un seul point, lorsque l'angle au sommet est de 0, à une série d'ellipses, à une parabole, lorsque l'angle au sommet est droit, à une série d'hyperboles une fois passé l'angle droit.

Comment déterminer laquelle, parmi ce nombre infini d'hyperboles, a été utilisé par Ménechme ?

La même animation, avec les plans des coupes effectuées.

Le même processus, vu de dessous le cône (ou projeté sur un plan horizontal).

Vue de dessous à nouveau, avec les plans des coupes.

Toutes les paraboles sont les mêmes ! Mais pas toutes les hyperboles ni toutes les ellipses…

Si on s'en sort un peu trop facilement sur une question particulière, cela signifie qu'elle nous attend au prochain coin de rue. Eh oui ! L'hyperbole s'était révélée à nous un peu trop facilement… Mais désolé, c'est trop tard pour faire demi-tour, nous voilà forcés de continuer, espérant qu'on pourra reprendre le chemin de Kepler un peu plus tard.

Nous voilà donc pris dans le bourbier de l'hyperbole, de ses asymptotes, de son axe, de sa relation aux côtés du cône. Arrive alors une question : quelle est la relation entre une hyperbole issue d'un cône rectangle et toutes les autres hyperboles ? Il y a quand-même une singularité bien particulière, non dans l'hyperbole, mais dans la parabole : toutes les paraboles sont les mêmes. Une parabole est toujours proportionnelle à toutes les autres, comme les cercles entre eux. De la manière dont nous avons généré les sections coniques ci-dessus, la parabole n'est arrivée que lorsque l'angle du cône était droit. Entre une coupe circulaire et une coupe parabolique du cône, il y a une infinité d'ellipses différentes. Entre une coupe parabolique et une simple ligne droite, il y a une infinité de coupes hyperboliques.

Dans cette animation que nous avons vue précédemment, les différentes paraboles sont en fait toutes similaires.

Les différentes coupes paraboliques que nous avons prises pourraient être générées en changeant la longueur du latus rectum dans notre animation de Ménechme.

Si on change le latus rectum de façon continue, chaque moment génère une nouvelle parabole définie par le carré en croissance.

Ici, on voit bien que l'hyperbole rectangle partage cette propriété avec la parabole. Le changement de la taille du carré au sommet de l'hyperbole définit une nouvelle hyperbole qui reste similaire à toutes les autres de sa famille.

Tout ceci semble nous ramener au cercle et à sa similarité à tous les autres cercles. Dans l'animation ci-dessus, est-ce que le cercle et le carré grandissent, ou se rapprochent-ils de plus en plus ? Quelle est la différence ?

Et pourtant, les propriétés de l'hyperbole restent insaisissables, comme si elles se trouvaient toujours derrière la prochaine colline. Nous ne pouvons pas aller plus loin sur cette piste pour le moment.

Malgré toutes ces différences, qu'y a-t-il de commun entre ces sections coniques ? Si le cercle lui-même est une section conique, en quoi est-il différent des autres ?

En revoyant l'animation de la solution de Ménechme au doublement du cube, on voit qu'il y avait deux mécanismes possibles pour construire la parabole et l'hyperbole, deux mécanismes décrits par Kepler dans le chapitre 4, section 4, de son traité sur l'optique. Kepler a inventé des machines simples pour générer la parabole et l'hyperbole, et en a probablement redécouvert une pour l'ellipse. Il dit qu'il les a conçues à partir des descriptions d'Appolonius et de ses démonstrations des propriétés des sections coniques, en les comparant entre elles. C'est donc en tenant compte des caractéristiques intrinsèques à chaque section qu'il a pu produire un processus continu permettant de générer chaque courbe.

Tenter de décrire ces mécanismes serait aller bien au-delà de tout ce que nous avons abordé jusqu'ici. Mais au moins, nous savons désormais derrière quelle colline se cache ce que nous cherchions, même si nous n'irons pas l'explorer aujourd'hui.

Voyons quand-même la chose brièvement, afin que le chemin soit tracé pour la prochaine fois que nous reviendrons.

L'hyperbole se dessine en faisant en sorte que la différence entre les deux longueurs par rapport aux deux foyers reste constante. Partant de deux foyers avec deux ficelles, l'hyperbole est ainsi générée en ajoutant des longueurs égales à chaque ficelle lorsque l'une et l'autre sont étendues.

Cette animation peut aider à comprendre le processus. Le rayon du cercle vert est la distance d'un des foyers à l'hyperbole, le rayon du cercle violet est la distance de l'autre foyer à l'hyperbole. Les deux cercles s'accroissent à un taux constant et c'est leur intersection qui dessine l'hyperbole. Le diamètre marron du cercle bleu qui grandit entre eux montre que des quantités égales sont ajoutées aux rayons des cercles vert et violet.

La parabole est générée en attachant une ficelle au foyer de la parabole et au sommet de la parabole, et en faisant passer cette ficelle par un stylo tenu à ce sommet. Le bout de la ficelle est tenu à la main à une certaine distance du sommet, sur l'axe de la section. Le stylo trace ensuite la courbe lorsque la main tenant le stylo et celle tenant le bout de la ficelle s'éloignent de l'axe de la parabole à vitesse égale. Cette ficelle est toujours tenue parallèle à l'axe, alors que son extrémité se déplace le long d'une ligne perpendiculaire à l'axe de la parabole.

Cette animation permet de mieux comprendre la construction.

La construction de l'ellipse est plus simple : la somme des distance aux deux foyers doit rester constante à n'importe quel point de la courbe.

En quoi toutes ces constructions diffèrent-elles de la simple génération d'un cercle avec un compas ? Kepler rejette la solution de Pappus pour la trisection de l'angle, pour la seule raison qu'elle demande l'utilisation de courbes plus complexes.

Pappus fait de ce problème un problème solide en utilisant un cône, une figure solide. Mais dans la mesure où entre les asymptotes données (…) faisant un angle droit, par un point donné entre elles, la section conique dite hyperbole peut être décrite dans le plan sans utiliser le cône. (…) Que dirons-nous donc ? Est-ce qu'une seule hyperbole peut être décrite depuis un point donné entre deux asymptotes, que cela soit fait en ajustant l'angle du cône ou par continuité infinie de points ? Y a-t-il un seul point d'intersection du cercle avec l'hyperbole ? Y a-t-il un seul angle défini entre la ligne connectant les points de l'hyperbole et le diamètre de la figure ? » (L'Harmonie du Monde, page 50)

Pour construire la parabole physiquement sans utiliser la machine de Kepler (de manière analogue à la façon dont ces animations ont été créées), sa génération peut être pensée comme étant le processus qui a lieu entre chaque moment du processus… Entre ces moments, nous devons connecter les points, extrapolant le reste. Ou bien, sachant ce que nous souhaitons construire, nous retournons à ce que son début devrait être.

Mais est-ce ainsi que fonctionne la machine à fonctions coniques de Kepler ?

En tout cas, la question reste entière : quelle est la différence entre toutes ces constructions et celle du cercle avec un simple compas ?

Ménechme

théodore — 2010-08-14T15:57:34Z

Kepler nous dit que Pappus a résolu le problème de la trisection de l'angle en utilisant une hyperbole. Avant de travailler sur la construction de Pappus en tant que telle, une question se pose : d'où provenait cette hyperbole ? Qui avait imaginé ces sections coniques, qui avait pensé à trancher des cônes de la sorte ? Que pouvaient apporter des études sur le soleil, ses levers et couchers, et la modification des ombres ainsi créée ? L'hyperbole pouvait-elle être remarquée dans le changement de l'ombre au moment où le soleil se couche ? Le cône d'où elle est issue pouvait-il en être déduit ?

Toutes ces questions nous ramènent à des époques bien lointaines, en territoire inexploré, au cœur des études menées par les Grecs anciens. Kepler nous a montré différentes approches menant toutes au même point. Quelque chose de différent semble émerger de l'étude des sections coniques : de vrais chemins qui mènent en-dehors du labyrinthe, ou qui au moins donnent un peu plus de substance au fil que nous avons saisi.

Laissons donc Kepler de côté un moment, pour retourner vers lui mieux équipés par la suite, et donner un bon coup de pied dans la fourmilière de nos doutes.

Les sections coniques

Ménechme [1], au IVème siècle avant J.C, Ménechme aurait établi une découverte conférant un nouveau pouvoir pour résoudre des problèmes apparemment insolubles, comme le doublement du cube et la trisection de l'angle, en utilisant les propriétés du cône et ses sections.

Comment les Grecs ont-ils pu découvrir cette faculté qu'a le cône pour permettre de résoudre des problèmes [2] ? Peut-être à travers les études optiques nécessaires pour améliorer les observations astronomiques. Peut-être passe-t-on inévitablement par l'idée du cône lorsqu'on étudie le processus de la vision, très lié à celui de la lumière – un peu à la façon dont la sphère céleste nous amène à l'idée de la sphère.

En tout cas, c'est Ménechme qui, dans le problème du doublement du cube, a abordé pour la première fois cette caractéristique singulière des cônes. Dans Riemann for Anti-Dummies numéro 33, Bruce Director amène comment Ménechme a réglé ce problème du cube en l'insérant dans une étude plus générale des fonctions hyperboliques.

Le problème auquel on se confronte lorsqu'on étudie la géométrie, la science et l'astronomie grecques, c'est que bien souvent les récits des découvertes ont été écrits plusieurs siècles après que la découverte a été faite. Il faut alors se demander quelle a été l'intention de la personne ayant écrit le récit.

Dans le court passage sur le doublement du cube de Ménechme, écrit par Eutocius [3], on trouve une référence au premier développement de la géométrie des sections coniques, qui soit connu [4]. D'après ce récit, Ménechme commence avec ce qu'il connaît des relations de proportion entre les côtés du cube de 1, de 2 et de 8. Deux doublements de cube se trouvent entre le cube de 1 et celui de 8 – le cube de 2 et le cube de 4 – et de même deux moyennes géométriques se trouvent entre le côté de longueur 1 et le côté de longueur 2. Beaucoup de personnes ont écrit sur ce problème. Pour l'instant, gardons à l'esprit une citation du Timée de Platon : « Si donc le corps de l'univers avait dû être une simple surface, sans profondeur, un seul terme moyen aurait suffi pour lier ensemble les deux extrêmes et lui-même. Mais, en fait, il convenait que ce fût un corps solide. (…) Les solides sont toujours joints par deux médiétés, et jamais par une seule ». La nature du problème repose clairement sur la différence entre la géométrie plane et la géométrie des volumes.

La parabole

Ménechme définit en premier lieu les proportions que nous souhaitons construire, avec deux moyennes localisées entre deux extrêmes. Il déclare alors que si ces deux longueurs existent, elles doivent permettre de définir un point de jonction entre une parabole et une hyperbole de caractéristiques particulières.

Mais le récit d'Eutocius est abrupt et tronque la découverte de Ménechme. On n'a toujours pas trouvé de texte donnant un bon aperçu de sa découverte, et on ne sait toujours pas comment il concevait les sections coniques qu'il employait ou comment il en était arrivé à connaître leurs propriétés. A nous donc de retracer le processus.

La courbe de la parabole est utilisée en tant que processus de génération de toutes les moyennes géométriques entre une extrême fixe et une deuxième extrême qui augmente indéfiniment à partir de 0.

Comment cela fonctionne-t-il ?

Il faut penser au cercle, qui génère de lui-même toutes les moyennes entre deux extrêmes. Si le diamètre est une extrême, alors les deux autres grandeurs que nous recherchons sont : 1. les cordes des arcs balayés lorsque le rayon effectue une rotation sur le demi-cercle ; 2. les segments du diamètre définis par les perpendiculaires projetées depuis l'extrémité des arcs balayés par le rayon.

La corde de l'arc représente alors la moyenne géométrique entre le diamètre et le segment du diamètre.

A chaque couleur correspond une corde et son extrême correspondante. Chaque corde est la moyenne géométrique entre un segment du diamètre et le diamètre lui-même.

Cette animation présente une génération de la parabole suivant cette technique. Chaque segment de diamètre devient la référence horizontale sur laquelle est placée verticalement chaque corde d'arc (moyenne géométrique). Au fur et à mesure que ces segments tombent du cercle, ils forment le squelette de la parabole.

Cette animation montre comment la parabole se laisse définir par ce squelette.

Mais Eutocius prend un point de vue différent pour décrire comment Ménechme génère sa parabole. Il parle des deux moyennes proportionnelles nécessaires pour doubler le cube. Une ligne A est définie comme égale à la plus grande extrême, ici 2 ; c'est le « latus rectum » de la parabole. Après avoir défini l'axe de la parabole, il déclare : « Que les deux carrés de l'ordonnée dessinés à angle droit par rapport à l'axe soient égaux aux aires appliquées à A, en ayant comme côtés les lignes droites coupées par eux vers l'origine de l'axe. »

Plutôt obscur, n'est-ce pas ? Par moments, le simple déchiffrage requiert une grande quantité de travail, même si la direction d'ensemble se révèle finalement être la bonne.

Lorsqu'on génère la parabole à partir du cercle, que se passe-t-il une fois qu'on a atteint le point où le diamètre du cercle et la corde de l'angle balayé coïncident ? La parabole s'arrête-t-elle là ?

Le moment de coïncidence représente un point singulier, mais il est impossible que la courbe s'arrête là.

Au lieu de générer dans un cercle les longueurs permettant de construire la parabole, est-il possible de générer la parabole directement, comme le dit Eutocius ?

Dans la description d'Eutocius, il y a clairement une relation entre, d'un côté, les carrés dessinés sur l'axe et les aires appliquées à A, et de l'autre côté, notre première tentative de créer la parabole de Ménechme. Car un carré construit à partir d'une moyenne géométrique est nécessairement égal au rectangle dont les côtés sont les deux extrêmes entre lesquelles la moyenne tombe. Donc, comme dans notre cercle, la hauteur de la parabole serait la moyenne géométrique entre le latus rectum et une quantité qui va croissante à partir de 0. Plutôt que d'avoir le latus rectum comme diamètre du cercle, faisons-en maintenant un segment du diamètre du cercle qui grandit, qui sera une extrême, l'autre segment du diamètre étant l'autre extrême, et la ligne projetée perpendiculairement sur le cercle depuis le la jonction entre les deux est la moyenne géométrique.

Cette animation commence avec le cercle dont le diamètre est le latus rectum. Alors que le cercle s'agrandit, cette longueur reste fixe, devenant ainsi une plus petite portion du diamètre total. La moyenne entre cette longueur et le reste du diamètre est alors tracée le long de l'axe horizontal. Cette opération équivaut à générer une série de triangles rectangles au fur et à mesure que le cercle grandit. La base de chaque triangle se situe sur le diamètre du cercle, leur sommet reste toujours sur l'axe horizontal.

La série de composants horizontaux et verticaux de la parabole est donc générée dans un processus unique au fur et à mesure que le cercle initial s'agrandit.

Cette animation révèle ce processus de génération de la parabole. Ce processus maintient l'égalité des aires dont parle Eutocius. Le carré construit sur l'axe horizontal et le rectangle construit avec le latus rectum et l'autre extrême, ont toujours une aire égale. L'animation fait une pause au moment où le rectangle et le carré sont identiques, quand la distance parcourue le long des axes vertical et horizontal est la même. C'est le même moment auquel prenait fin notre tentative précédente de construction de la parabole (à partir du cercle).

L'hyperbole

Après avoir navigué avec succès dans les eaux troubles de la parabole, nous entrons dans la description d'Eutocius de la construction de l'hyperbole, qui s'avère bien plus compréhensible. Il prend les deux axes de la parabole et définit une hyperbole sur la base de ces asymptotes. Au point qu'il désigne, le rectangle formé depuis les distances horizontale et verticale délimitées par la perpendiculaire projetée depuis ce point sur l'asymptote a une aire égale à l'aire du rectangle formé depuis les extrêmes initiales qu'Eutocius a établies dans sa description. Une de ces extrêmes est A, le latus rectum de la parabole que nous avions dessinée. La construction de Ménechme permet ainsi de trouver les deux moyennes géométriques entre 1 et 2. Si A est égal à 2 alors l'autre extrême est de 1, et le rectangle formé à partir des deux aura une aire de 2. L'hyperbole rectangulaire est une courbe où, quand les perpendiculaires sont projetées de n'importe quel point de la courbe sur les deux asymptotes, les rectangles formés depuis ces deux longueurs sont toujours égaux. Donc dans le cas de l'hyperbole de Ménechme, les composantes horizontale et verticale à n'importe quel point formeront toujours un rectangle de surface 2.

Cette animation montre le processus de génération d'aires rectangulaires de 2 définies par l'hyperbole de Ménechme, que nous utilisons pour créer l'hyperbole dont nous avons parlé. Nous commençons avec un cercle de diamètre 2, égal au latus rectum de la parabole. Le rayon de ce cercle est donc de 1. La diagonale du carré construit depuis le rayon est le côté d'un carré de 2, ce dernier étant égal à un rectangle dont les côtés sont de 1 et de 2, les deux extrêmes que Ménechme a établies. Ce rectangle est égal à un autre dont les côtés sont de 4 et ½. Notons que le carré de 2 représente un moment de singularité dans la génération de l'hyperbole, définissant son sommet.

Ici, l'hyperbole est représentée telle qu'elle est décrite : les axes de la parabole sont les asymptotes de l'hyperbole. Là où parabole et hyperbole s'intersectent, la perpendiculaire horizontale est la racine cubique de 2, alors que la perpendiculaire verticale est la racine cubique de 4. Etant données les propriétés de l'hyperbole et de la parabole que nous avons déjà exposées, vois-tu pourquoi ?

Comme pour la parabole, la génération de l'hyperbole peut être conçue comme un processus continu. Le latus rectum de la parabole est utilisé en tant que diagonale d'un carré de 2, qui définit le sommet de l'hyperbole de Ménechme. L'hyperbole se dessine lorsque que ce carré est transformé en des rectangles de plus en plus longs, qui ont toujours une aire de 2.

Voilà la solution de Ménechme, générée à partir d'un processus continu.

[1] Disciple d'Eudoxe et de Platon et précepteur d'Alexandre le Grand avec Aristote.

[2] C'est par l'utilisation du cône qu'Archytas a pu également trouver une solution au doublement du cube.

[3] Il semblerait qu'Eutocius ait succédé à Proclus à la tête de l'académie d'Athènes au milieu du sixième siècle après J.C., soit huit siècles après la mort de Ménechme.

[4] Une lettre d'Eratosthène, écrite vers 200 avant J.C., mentionne également les sections coniques de Ménechme.

Indétermination

théodore — 2010-08-14T15:44:15Z

Par construction, les propriétés d'un pentagone régulier inscrit dans un cercle sont connues. Un chemin nous est donc fourni dans le pentagone pour atteindre notre but. Kepler applique une méthode similaire pour l'heptagone : sachant quelles propriétés il doit avoir, il revient en arrière pour montrer comment chaque chemin vers une construction connue est bloqué.

Le pentagone

Construire le pentagone « indépendamment du cercle » requiert de connaître la relation entre les côtés et les angles de ses triangles élémentaires. Nous nous trouvons alors face à une des proportions harmoniques les plus déroutantes : la section d'or.

Deux des chemins possibles pour la construction du pentagone partent de là. Prends une ligne, coupe-la selon la section d'or. Ajoute la plus grande section à la ligne originelle. Fais de cette nouvelle ligne le côté d'un triangle isocèle avec la ligne d'origine comme étant la base. Cela crée le triangle élémentaire intérieur du pentagone, un triangle tel que les angles de la base sont tous deux le double de l'angle au sommet :

Nous pouvons également construire le pentagone en restant dans les limites d'un cercle. En limitant la génération des triangles isocèles à ceux inscrits dans un cercle, un nombre infini de triangles peut être défini :

Ici, l'angle au sommet du triangle isocèle va du non-angle à deux angles droits.

Ici, l'angle au sommet reste fixe tandis que le rayon du cercle circonscrit change, produisant une série de triangles isocèles appartenant à la même « famille ».

Un des triangles est celui que nous voulons. Comme on peut le voir sur l'animation suivante, son existence implique le pentagone.

L'angle au sommet est de 1, les deux angles de la base mesurent exactement le double. Bissecter l'angle de la base révèle que ce triangle spécifique implique nécessairement le pentagone.

La section d'or

La section d'or, proportion que les Grecs antiques appelaient « rapport moyen et extrême », ne semble dériver d'aucune investigation de géométrie plane. Si on la considère du simple point de vue des relations internes au pentagone, on est pris dans le cercle infernal du serpent qui se mord la queue : pour construire le pentagone, il faut couper une ligne selon la section d'or. Mais d'où l'idée de la section d'or est-elle venue, si ce n'est de la construction du pentagone ? On peut toujours s'en sortir en disant que seuls les processus vivants présentent cette proportion, à quoi il faudrait demander comment on s'en est rendu compte. Et malgré la plus belle liste des caractéristiques de la section d'or, on n'en serait pas plus avancés pour savoir d'où elle vient.

Peut-être la section d'or est-elle liée à la qualité harmonique requise pour diviser la sphère céleste. Mais cette possibilité nous mène bien loin, dans le domaine de la trigonométrie sphérique, nous laissant finalement au seuil du pentagramma mirificum (Clique ici pour un pédagogique sur la trigonométrie sphérique).

Mais alors, l'idée de proportionnalité est peut-être issue des investigations en musique, du genre de celles effectuées par Kepler dans le Livre III. C'est là une piste qui mérite une réflexion sérieuse.

De l'origine des nombres

Et si le concept de nombre nous était venu de la division de la corde et de la sphère céleste ? (Clique ici pour un pédagogique sur les moyennes Les sons engendrés par les différentes divisions de la corde présentent immédiatement un lien entre les relations arithmétiques et géométriques. Changer les distances arithmétiques sur la corde donne des résultats géométriques.

Sur cette animation, qui n'est qu'un avant-goût de ce qui arrive, on voit et on entend qu'enlever ¼ de la corde change le son ; un intervalle particulier entre ce nouveau son et celui produit par l'entièreté de la corde est produit. Mais si on enlève encore ¼, le changement de son ne se fait pas selon la même quantité, et l'intervalle produit est différent. Nous serons amenés à explorer ces questions plus en profondeur dans le Livre III.

La section d'or est une proportion particulière qui, ajoutée à la ligne d'origine, action arithmétique, produit un effet géométrique. La relation proportionnelle, où la petite partie de la ligne est à la grande partie ce que la grande partie est à la ligne entière : A/B = B/(A+B), correspond à une division de la ligne de telle façon à ce que le carré de la grande partie soit égal au rectangle fait par toute la ligne et la plus petite partie.

Dans cette animation, nous commençons avec une ligne de 1. Si nous divisons cette ligne de moitié et produisons un carré à partir d'un des deux segments, l'aire de ce carré sera de ¼, alors que celle du rectangle formé par l'autre segment et la ligne de 1, sera de ½. Entre cette division et celle dans laquelle nous divisons la ligne en un segment de ¾ et un segment de ¼ (ce qui produit une aire de 9/16 et une aire de ¼), il y a un point d'or où l'aire du carré est égale à l'aire du rectangle.

Cela ne répond aucunement à la question de comment les Grecs ont découvert cette division. Mais une direction a été ouverte. Et si les Livres 2 et 6 des Eléments d'Euclide n'étaient qu'une longue liste des fruits qui auraient émergé d'une telle investigation ?

Le triangle élémentaire

Retournons sur la route principale avant d'aller plus loin, par peur de perdre notre chemin. Mais nous éloigner des sentiers battus nous a permis de nous rapprocher de l'objectif.

En appliquant la méthode établie, cassons l'heptagone en cinq triangles élémentaires. De la relation entre leurs angles et côtés, déduisons-en les relations qui feront que l'heptagone est un heptagone, et que le cercle sera divisé en sept parties égales. Kepler se focalise sur le triangle isocèle du milieu, BEF. Comme on le voit, les angles BEF et BFE sous-tendent trois septièmes du cercle, tandis que l'angle EBF n'en sous-tend qu'un. Comme le cercle est également divisé, l'angle EBF vaut donc un tiers des angles de la base. Donc pour construire l'heptagone, il faut construire un triangle isocèle dont les angles de la base mesurent exactement le triple de l'angle au sommet.

La proportion de Cardan

Dans le pentagone, on connaît la proportion selon laquelle la ligne qui bissecte l'angle de la base, coupe le côté du triangle élémentaire. Cette proportion permet la construction du pentagone indépendamment du cercle. Ensuite, l'inscription du pentagone dans le cercle dépend de la connaissance qu'on a du rapport entre le diamètre du cercle et le côté du polygone.

Peut-être que pour l'heptagone, connaître la relation de proportion entre les trois segments du triangle élémentaire, nous mènera à une possibilité de construire l'heptagone indépendamment du cercle. Ce qui pourra nous mener à une certaine connaissance de l'heptagone, et nous pourrons ainsi établir une comparaison entre le côté de l'heptagone et le diamètre du cercle circonscrit. Voyons si c'est possible.

Bissecte l'angle BEG en tirant une ligne de E à H, et bissecte l'angle HEF, tirant une ligne de E à G. Ces deux bissections coupent la ligne BF, qui est le côté du triangle élémentaire, en I et K. Bissecter l'angle d'un triangle fait qu'on coupe le côté opposé dans la même proportion que les deux autres côtés entretiennent l'un envers l'autre. Ces deux bissections établissent donc une série de proportions uniques entre BI, IK, KF et les triangles dont ils font partie. Comme pour le pentagone, où la bissection de l'angle de la base du triangle élémentaire coupe le côté de ce triangle selon la section d'or, connaître la relation proportionnelle entre BI, IK et KF permettra de connaître la relation entre le côté de l'heptagone et le diamètre du cercle.

Cette animation montre que la ligne de bissection d'un angle coupe la base du triangle selon la même proportion que les deux autres côtés entretiennent entre eux. Pour un triangle isocèle cela est évident : la bissectrice coupe la base en deux parties égales. Les deux autres côtés sont égaux, vu que le triangle est isocèle, donc la proportion est de 1.

C'est là la base de la série de proportions que Cardan a pu établir, menant apparemment à une construction connaissable de l'heptagone.

Indétermination

Trois hommes trouvent sur le trottoir une valise remplie de billets. Le premier dit : « Si j'ajoute cette somme à ce que j'ai déjà, je vais être deux fois plus riche. » Le deuxième répond : « Moi, si j'ajoute cette somme à ce que j'ai déjà, je serai trois fois plus riche. » Le troisième déclare qu'avec cet argent il serait cinq fois plus riche. Question : Combien d'argent chaque homme a au départ, et combien y a-t-il dans la valise ? Mettons de côté les blagues sur Jean-Claude Tricheur, quel est le problème avec ce problème ?

Pour trouver la section d'or, coupe une ligne de telle sorte à ce que le carré de la plus grande partie soit égal au rectangle formé de toute la ligne et de la partie plus petite. Pour ceux qui aiment l'algèbre, le problème prend cette forme : il faut trouver deux nombres qui font que B2 = A(A+B). Est-ce constructible ? Y a-t-il une seule solution ? Quelle est la différence entre cette proportion et celle dans laquelle B2 = A(C-B) ?

Ici, nous commençons avec une ligne de 1. B est la ligne en rouge et l'aire contenue par son carré est égale à l'aire du rectangle de largeur C-B. Au début, C=1. La hauteur du rectangle est A, qui, dans cette animation, est toujours de 1. Les deux aires ont la même couleur pour montrer leur égalité. Au début, la division en B semble très similaire à la section d'or. Mais lorsque C grandit, on voit qu'il y a toujours un carré de B dont l'aire est égale au rectangle dont les côtés sont 1 et (C-B). L'animation se finit à un moment singulier : quand C=6 et B=2.

D'où cette indétermination provient-elle ? Pourquoi ce travail sur l'heptagone génère-t-il un processus qui semble unique, mais ne l'est pas, alors que le pentagone a une seule construction ? Il faut revoir cette animation :

On pourrait penser que l'heptagone ne nécessite la bissection que de deux angles : d'abord de l'angle GEB, ce qui donne le point H, et ensuite de l'angle HEF, ce qui donne le point G. Mais que se passe-t-il si nous ne « voyons » pas l'heptagone et que nous devons réaliser cette opération à partir du triangle élémentaire ? Une bissection peut-elle correspondre à une autre ?

Algèbre

Peut-être le problème n'est-il pas vraiment géométrique. S'il y avait un moyen d'établir la construction, peut-être pourrions-nous découvrir la longueur du côté de ce triangle élémentaire.

L'algèbre semble fournir un moyen très simple de réduire les problèmes géométriques les plus compliqués à un ensemble de formules et de règles. Connaissant la nature des proportions existant dans tous les carrés, il semble que nous n'ayons jamais besoin de dessiner un carré, car nous pouvons toujours représenter cette proportion connue avec un symbole ou un mot : nous pouvons la nommer.

Or, le problème avec les noms, c'est qu'ils supposent que ce qu'ils nomment est déjà connu : ils ne désignent jamais ce qui n'est pas connu.

Encore, pour l'heptagone, [cette algèbre] n'enseigne pas à construire une proportion continue pour laquelle cette relation [entre côté et diamètre] est faite, ni n'exprime les longueurs des termes proportionnels selon ce qui est déjà connu, mais elle enseigne, une fois le système de proportions continues établi, quelle relation s'ensuit. On m'exhorte donc de reproduire le rapport, car il arrivera ensuite que j'aie la proportion. Mais comment reproduirai-je le rapport, par quel acte Géométrique ? On ne m'enseigne à faire cela par nulle autre chose que par le rapport à employer que je cherche ; l'argument est circulaire : et le malheureux Calculateur abandonné par tous les secours de la Géométrie, se trouvant arrêté entre les buissons des nombres, tourne en vain les yeux vers son algèbre ». (XLV – Proposition, page 43)

Mais moi, je ne traite pas ces espèces par les nombres, non par l'Algèbre, mais par le raisonnement de la Pensée ; à bon droit parce qu'il ne m'est pas nécessaire d'eux pour supputer les Conditions des marchés, mais pour expliquer les causes des choses » (pages 5-6)

Le traitement laborieux dans lequel Kepler nous pousse ne choque pas l'esprit de quelqu'un ayant appris à se méfier de l'algèbre. Mais il fait émerger une question, qui s'est formée tout au long de notre chemin, ayant pris au début la forme d'un vague pressentiment, et se transformant par la suite en préoccupation consciente. Comme pour la proportion trouvée en travaillant sur le triangle élémentaire de l'heptagone (la proportion de Cardan), l'algèbre semble finalement tracer une voie pour escalader la falaise qui nous fait face. Mais aucun des deux ne nous mène là où ils nous promettaient d'aller. Qu'est-ce que ces méthodes ont en commun ? Et quelle est la nature du problème de l'heptagone qui fait que ces chemins mènent à une impasse ?

Enfin, il faut réaliser que le problème est celui de la trisection de l'angle, comme on l'a vu dans la première animation sur l'heptagone. Ce problème fait partie des « problèmes cubiques ». Mais que cela signifie-t-il réellement ?

Introduction sur l'heptagone

théodore — 2010-08-14T15:17:26Z

Lorsque l'activité de ton esprit est maintenue, évitant toute fuite dans le fantasme, lorsqu'il se retrouve engourdi comme si les ténèbres avaient pénétré ses moindres recoins, tu peux penser à comment Kepler a traité le problème de l'heptagone. Là, Kepler se retrouve en effet au sommet de ses investigations sur la nature de la géométrie plane. C'est la fin du Livre I, il a condensé ce qui semblait infini en un ordre intelligible, fini. « Il suit donc que la Notion, la Science, la Détermination, la Description, et la Construction d'une figure, servent à établir des limites entre les ordres premiers auxquels appartiennent les figures » (XLVIII – Corollaire, page 53). Il y a un nombre infini de polygones réguliers, contrairement au nombre très limité de polyèdres réguliers, mais cette infinité est en fait limitée. L'étude de Kepler mène nécessairement à une preuve d'inconstructibilité, qui définit cette limite universelle. Il dépense une bonne dose d'efforts pour établir cette démonstration : « C'est d'une grande importance, car c'est selon ce résultat que l'heptagone et d'autres figures de ce genre n'ont pas été employées par Dieu dans l'ordonnancement de la structure du monde, comme furent employées les figure connaissables expliquées dans nos sections précédentes. » (XLV – Proposition, page 37)

Quel toupet, quelle certitude audacieuse de la part de Kepler ! « En effet, nous nous attaquons ici au problème des entités susceptibles de connaissance ; et nous maintenons que le côté de l'heptagone fait partie des non-entités et n'est pas susceptible de connaissance. Car une description formelle en est impossible ; par conséquent il ne peut être connu de l'esprit humain, car la possibilité d'être construit précède la possibilité d'être connu. Il ne peut non plus être connu de l'Esprit omniscient par un simple acte éternel : car par sa nature il est parmi les choses inconnaissables ». (XLV – Proposition, page 45)

Kepler affirme donc non seulement qu'il connaît la raison divine, mais aussi qu'il y a des quantités que Dieu ne peut connaître car elles sont inconnaissables pour l'homme. L'inconstructibilité de l'heptagone est donc à la fois essentielle et universelle, et l'on peut donc connaître l'univers de ces deux points de vue à la fois. Kepler ose ici affirmer que l'univers est contenu dans son esprit ; c'est un acte si fondamentalement humain que ses implications dépassent largement toute découverte scientifique en tant que telle.

C'est à ce moment que tu commences à entendre une petite voix en toi : « Mais un tel savoir est-il possible ? Qu'es-tu par rapport à Dieu ? Un simple rien. Qu'est-ce que cette connaissance face à l'infini ? Une goutte dans l'océan. Tu t'es laissé enhardir par l'esprit de Kepler, et tu aimes son idée de défier l'idée de petitesse de l'être humain. Mais tu ferais mieux de douter, car Kepler a tort. »

Et Kepler nous donne une bonne raison de douter de ses affirmations : à la fin du Livre I, il essaie de généraliser ce qu'il a prouvé pour l'heptagone et le nonagone. Il tente de prouver l'inconstructibilité de tous les polygones ayant un nombre impair de côtés, exceptés ceux de 3, 5 et 15 côtés. Dans sa direction, son étude est valide, mais il a tort.

Comment peut-il s'être trompé de la sorte ? Si l'on veut dépasser les doutes émis par la petite voix, il nous faut continuer notre chemin sur les traces de Kepler.

Les bâtons de Napier

théodore — 2010-08-11T22:20:03Z

Il est évident que les genres mathématiques ne sont pas autrement dans l'âme que les autres choses universelles et les concepts variés extraits des choses sensibles ; et celle des espèces mathématiques qui est dite cercle, se trouve dans l'âme, non seulement en tant qu'idée des choses extérieures, mais encore comme une certaine forme de l'âme elle-même, et enfin comme unique magasin de toute savoir géométrique et arithmétique. Le premier est rendu très évident dans la doctrine des sinus, le dernier dans ce merveilleux travail des logarithmes, qui a donné cette sorte de machine à calculer toutes les multiplications et divisions qui peuvent être faites, comme si elles avaient déjà été accomplies ». (page 282)

Le merveilleux monde des logarithmes auquel Kepler se réfère ici a été mis au point par John Napier, à travers tout un système de tiges qui faisait office de calculteur, appelé « les bâtons de Napier ». Napier cherchait à rendre la multiplication et la division de très grands nombres aussi simple que leur addition et soustraction, afin de faire économiser un temps fou aux astronomes. Les implications d'une telle étude furent approfondies par les découvertes de Kepler, Leibniz, Gauss et Riemann.

Napier est célèbre pour ses découvertes dans le domaine du calcul, moins pour celle du pentagramma mirificum. C'est plus de 200 ans plus tard, après que Gauss ait repris l'étude du pentagramma mirificum [1], que la percée de Riemann en hypergéométrie physique révéla toute la profondeur de la découverte de Napier sur les sphériques.

Avant d'entrer dans la construction du pentagramma mirificum, il est important de considérer l'une des propriétés des triangles créés par action circulaire.

Sur un plan, construis à l'aide d'un compas le triangle ABG, de côtés circulaires. Soient X le centre de l'arc AB, Y le centre de l'arc AG, et Z le centre de l'arc GB. Attention à bien garder à chaque fois le même rayon (on verra pourquoi ci-dessous) :

Trace maintenant de nouvelle portions de cercle à partir des sommets A, B et G du triangle :

Un nouveau triangle aux côtés circulaires XYZ est ainsi formé. On remarque que les centres de courbure des côtés circulaires d'un triangle sont les sommets de l'autre triangle.

Appliquons cette idée à la construction réalisée par Napier sur la sphère. Partons du triangle rectangle sphérique de Regiomontanus, ABG. Que les arcs AB, AG et GB fassent moins d'un quart de grand cercle. Faisons l'angle GBA droit, et les deux autres angles aigus (tu pourras expérimenter plus tard ce qui se passe lorsque angles et arcs changent). Marquons d'où sont projetés les pôles de chaque arc sphérique. Soient X le pôle de l'arc AB, Y le pôle de l'arc AG, Z le pôle de l'arc GB. Remarque que pour que l'arc BG soit perpendiculaire à l'arc AB, le pôle de l'arc BG (le point Z) doit reposer sur le cercle AB. L'arc noir qui se déplace représente bien sûr un quart de grand cercle :

Tu remarqueras que pour dessiner des lignes sur une sphère, tu ne peux ajuster exactement ton compas. En fait, si tu veux connecter les points A et G par un arc appartenant à un grand cercle, tu dois planter ton compas en Y ou sur le pôle correspondant de l'autre côté de la sphère. Nous sommes ici dans une configuration différente du plan, où tu pourrais ajuster ton compas : si tu changes le rayon des arcs circulaires, tu changes aussi la relation entre les arcs. Il n'y a pas d'ajustement du compas possible sur la sphère, car nous avons besoin d'utiliser les grands cercles. A toi d'expérimenter cette idée : la construction de Napier est bâtie sur cette relation cercle polaire/grand cercle.

Une fois le triangle ABG construit, crée un arc qui a pour pôle le point G, passant par les points Z et Y, et venant former un angle droit avec l'arc BG. Puis crée un arc dont le pôle est le point A, passant par les points X et Y, et venant former un angle droit avec l'arc BA. Bien sûr, ces deux nouveaux arcs de pôles G et A, forment chacun un angle droit avec l'arc GA : Nous avons ainsi créé un pentagone sphérique GAZYX, dont les côtés correspondent tous aux hypoténuses de triangles rectangles sphériques qui ont pour angles droits B, B1, B2, B3 et B4. Les sommets de ce pentagone sphérique sont les pôles du côté opposé. Par exemple, le point G est le pôle de l'arc YZ, le point A est le pôle de l'arc XY, etc.

C'est là une construction très délicate. Si on bouge un seul point du pentagone sphérique, l'ensemble est déplacé et l'auto-polarité est interrompue. Par exemple, si on déplace le point A le long de l'arc GA vers B1, alors B4 devra se maintenir à la distance d'un quart de grand cercle du point A sur l'arc GA. Mais alors ce ne sera plus le point X qui reposera sur le grand cercle de pôle A, mais le point Y, détruisant ainsi la relation polaire du pentagone sphérique. De plus, l'angle en B2 ne serait plus un angle droit. A toi de jouer avec tout ça… (Voir le site internet du Pentagramma mirificum, en anglais)

Regardons ces triangles rectangles en adoptant le point de vue de Regiomontanus. Tous les triangles rectangles sphériques ont deux angles en commun avec leur voisin. Par exemple, les triangles GBA et AZ(B1) ont tous deux un angle droit, et les angles BAG et ZA(B1) sont les mêmes. Mais cela ne veut pas dire que tous ces triangles sont similaires. Sur le plan, quand deux triangles rectangles PAQ et ABG ont deux angles identiques, alors assurément leur troisième angle doit être le même :

Mais sur la sphère, si deux angles sont identiques, le troisième angle ne le sera pas nécessairement. Ici, l'angle BGA devient de plus en plus obtus et à un moment, il deviendra droit :

On remarque également que le sinus de chacun des angles droits B, B1, B2, B3, B4, est le sinus d'un arc qui correspond aux diagonales du pentagone sphérique GAZYX. Par exemple, le sinus de l'angle ABG est le sinus de l'arc XZ, le sinus de l'angle A(B1)Z est le sinus de l'arc GY, etc. Donc, les diagonales de ce pentagone sphérique sont toutes des quarts de grand cercle, et chacun de leurs sinus est alors le rayon de la sphère. C'est clair lorsque l'on voit comment le pentagone sphérique a été construit. L'arc connectant le pôle A à l'arc opposé XY est le quart d'un grand cercle, donc l'arc du point A vers X ou Y sera le même, c'est-à-dire le quart d'un grand cercle (et de même pour les autres pôles).

Nous avons donc ces proportions pour le triangle ABG :

sinus de l'arc GA : sinus de l'angle ABG :: sinus de l'arc GB : sinus de l'angle BAG

Mais regardons la sphère d'un autre point de vue. Quel est le sinus de l'angle BAG ?

Si on étend l'arc AB jusqu'à ce qu'il touche l'arc étendu XY au point L, alors le sinus de l'arc L(B4) sera le sinus de l'angle BAG. Et les côtés du triangle ALX sont tous des quarts de grand cercle. Par conséquent, l'arc L(B4) plus l'arc (B4)X égalent un quart de grand cercle. De plus, le triangle A(B4)Y a des côtés formés de quarts de grands cercles, donc les arcs (B4)X et XY égalent aussi un quart de grand cercle. L(B4) et XY sont donc de même longueur, et ont donc le même sinus.

sinus de l'arc GA : sinus de l'angle ABG :: sinus de l'arc GB : sinus de l'arc XY

ou bien

sinus de l'arc GA : sinus de l'arc GB :: sinus de l'arc XZ : sinus de l'arc XY

Le sinus de l'hypoténuse de l'un de ces triangles sphériques (qui est un côté du pentagone sphérique), a la même proportion au sinus de l'une de ses jambes, que le sinus d'une diagonale du pentagone sphérique a à un côté correspondant du pentagone sphérique. Un autre exemple, sur le même triangle, donnerait :

sinus de l'arc GA : sinus de l'arc AB :: sinus de l'arc XZ : sinus de l'arc YZ

A toi de jouer avec les autres !

La proportion existant entre les sinus des hypoténuses de chacun de ces triangles rectangles et le sinus de l'une de leurs jambes est la même que celle existant entre le sinus de la diagonale du pentagone sphérique et le sinus de l'un de ses côtés. Cette proportion se retrouve constamment à travers le pentagramme. Est-il accidentel que l'on trouve cette caractéristique sur une figure pentagonale ? Pourrait-on avoir un « hexagramma mirificum » ?

Toujours est-il que la section d'or fait beaucoup plus sens étudiée sous cette perspective. A toi, cher lecteur, de pousser plus loin les investigations !

[1] Le mot « mirificum » signifie « merveilleux », ou « miraculeux ».

Regiomontanus et les triangles sphériques

théodore — 2010-08-11T21:26:22Z

La singularité des cinq solides platoniciens attire l'attention sur la nature de l'action de la sphère. Peut-on trouver sur la surface de la sphère quelque chose de physiquement reconnaissable qui suggérerait qu'elle est divisible régulièrement de cinq façons différentes, c'est-à-dire selon les cinq solides ? La sphère en elle-même permet-elle de déterminer la façon dont les grands cercles se coupent à sa surface, générant les solides platoniciens ?

De nombreux géomètres ont contribué à poser les fondations de la notion anti-euclidienne de solides platoniciens, les considérant comme les ombres des caractéristiques générales de la courbure de la sphère plutôt que comme des objets absolus, en trois dimensions. Ce qui a donné lieu à tout un élan de recherches sur des formes de courbure physique plus élevées. Au milieu du 15ème siècle, Johannes Müller von Königsberg (1436-1476), alias Regiomontanus, écrivait un manuscrit sur la trigonométrie sphérique. Une partie de ce traité, Sur La loi des sinus pour des triangles sphériques, a jeté les bases pour que John Napier (1550-1617) effectue par la suite des découvertes à propos de la nature de la courbure caractéristique de la sphère. Un bref regard sur les sinus des triangles sphériques donne une bonne introduction à la contribution de Napier.

Cette animation montre le sinus d'un arc sphérique :

La ligne verte est projetée perpendiculairement sur le rayon stationnaire de la sphère.

Lorsque l'arc sphérique atteint le quart du grand cercle, le sinus de l'arc se confond avec le rayon de la sphère. Le sinus d'arc sphérique n'est pas différent d'un sinus d'arc circulaire : le chemin le plus court d'un point à un autre sur une sphère est une partie d'un cercle qui a le même centre que la sphère ; ce cercle est appelé grand cercle. Peu importe de quel bout de l'arc sphérique on trace le sinus, ce sera toujours le même sinus :

Les triangles sphériques ont des caractéristiques particulières. Etant donné un triangle sphérique AGB, si l'arc GB reste fixe, et que le point A se déplace librement sur la surface de la sphère, il y a seulement deux points où les angles AGB et ABG deviennent droits, dont l'un est montré ici :

Donc ici, les arcs AG et AB sont distants d'un quart de grand cercle et le point A est un pôle de l'arc sphérique GB.

Il est maintenant important de noter la différence entre le sinus d'un arc sphérique et le sinus d'un angle sphérique :

Etant donné un triangle sphérique AGB, le sinus de l'arc sphérique GB (rose) est projeté sur le segment circulaire auquel l'arc correspond. Cependant, l'arc GB est sous-tendu par l'angle GAB mais le sinus de l'arc GB n'est pas le même que le sinus de l'angle GAB. Le sinus maximum pour l'angle GAB se produit lorsque les arcs AG et AB sont étendus à un quart de grand cercle (aux points Z et H respectivement). Le segment circulaire rouge créé a alors le sinus maximum (en vert), qui est le sinus de l'angle GAB. Tout sinus produit avant ou après les points Z ou H sera moindre que le sinus maximum en vert.

Donc, dans ce triangle sphérique dont deux des angles sont droits, le sinus de l'arc AZ est au sinus de l'angle AHZ comme le sinus de l'arc AH est au sinus de l'angle AZH, comme le sinus de l'arc ZH est au sinus de l'angle ZAH : tous ont un rapport d'un à un. Le lecteur est encouragé à obtenir une sphère et un compas sphérique pour pouvoir entrer en relation avec ces relations.

Regiomontanus a donné la preuve que cette proportion tient pour tout triangle sphérique qui contient au moins un angle droit. C'est-à-dire que dans un triangle sphérique la proportion du sinus du côté du triangle au sinus de l'angle opposé à cet arc est la même pour tous les côtés du triangle sphérique.

Par exemple, si nous avons un triangle sphérique AGB et que l'angle ABG est droit, alors le sinus de l'arc AB est au sinus de l'angle AGB ce que le sinus de l'arc GB est au sinus de l'angle GAB, comme le sinus de l'arc AG est au sinus de l'angle ABG. Dans notre exemple l'angle ABG est droit et les deux autres angles sont tous deux aigus ; cependant les deux autres angles peuvent être également tous deux obtus, ou bien l'un aigu et l'autre obtus. Le lecteur peut expérimenter les deux autres cas :

Comment fonctionne cette proportion ? Nous savons que le sinus de l'angle ABG est le rayon de la sphère car ABG est un angle droit. Les arcs GE, GD, AZ, AH, sont des quarts de grand cercle car, comme nous l'avons montré auparavant, étendre les arcs du triangle sphérique jusqu'à ce qu'ils atteignent un quart du grand cercle, produit le segment circulaire dont le sinus est le sinus maximum et donc le sinus de l'angle sphérique. Donc, par exemple, le sinus de l'arc DE est le sinus de l'angle AGB et le sinus de l'arc ZH est le sinus de l'angle GAB. Le sinus de l'angle ABG n'est pas montré sur la figure, pour des raisons de clarté. De plus, l'angle ABG est un angle droit et le sinus d'un angle droit est le rayon de la sphère.

Regiomontanus établit ainsi une proportion : le sinus de l'arc AG est au sinus de l'arc AB ce que le sinus de l'arc GD est au sinus de l'arc DE. Donc sachant que GD est un quart de grand cercle, nous avons :

sinus de l'arc GA : sinus de l'arc AB :: rayon de la sphère : sinus de l'arc DE

En interchangeant les termes, nous avons :

sinus de l'arc GA : rayon de la sphère :: sinus de l'arc AB : sinus de l'arc DE

Et puisque le sinus de l'angle ABG est le rayon de la sphère et que le sinus de l'arc DE est le sinus de l'angle AGB, nous avons :

sinus de l'arc GA : sinus de l'angle ABG :: sinus de l'arc AB : sinus de l'angle AGB,

qui est une partie de ce que nous voulions prouver. Cependant, cette interchangeabilité ne montre pas nécessairement pourquoi elle fonctionne. Afin de mieux comprendre cette proportion, prenons deux demi-cercles inclinés l'un vers l'autre et les sinus produits lorsqu'un autre arc sphérique les croise :

Les arcs de ces deux demi-cercles se situent à la surface d'une sphère. AQ (jaune) est le sinus de l'arc sphérique AB ; AM (rouge) le sinus de l'arc sphérique AG. Comme AM et QM sont tous deux perpendiculaires à GC, l'angle AMQ est toujours le même. Et comme AQ est projeté perpendiculairement du point A sur le rayon CB, l'angle AQM reste toujours droit. Par conséquent, au cours du déplacement de l'arc sphérique AB le long de la sphère, les triangles AQM produits par les sinus des arcs AG et AB sont tous similaires. Et comme les côtés de ces triangles similaires sont les sinus des arcs sphériques, alors les sinus des arcs sphériques entretiennent une relation toujours identique.

Par conséquent :

sinus de l'arc AG : sinus de l'arc GD :: sinus de l'arc AB : sinus de l'arc DE

sinus de l'arc AG : rayon de la sphère :: sinus de l'arc AB : sinus de l'arc DE

sinus de l'arc AG : sinus de l'angle ABG :: sinus de l'arc AB : sinus de l'angle AGB

Au lecteur de vérifier si cette proportion s'applique également au sinus de l'arc GB et au sinus de l'angle GAB. De plus, cela peut fonctionner pour des triangles sphériques avec un angle droit, mais en va-t-il de même pour tous les triangles sphériques ? Allons voir.

Prenons un triangle sphérique AGB sans angle droit. Si on projette un arc sphérique (en violet) du point A de sorte à ce qu'il soit perpendiculaire à l'arc GB, alors les angles droits ADG et ADB sont créés :

Nous avons alors :

sinus de l'arc AB : sinus de l'angle ADB :: sinus de l'arc AD : sinus de l'angle ABD

sinus de l'arc AG : sinus de l'angle ADG :: sinus de l'arc AD : sinus de l'angle AGD

Le sinus des arcs AG et AB a la même relation à leurs angles opposés, qui sont les angles droits ADG et ADB ; en même temps le sinus de l'arc AD a la même relation à ses angles opposés ABD et AGD. Et sur la base de ce que nous avons montré précédemment :

sinus de l'arc AB : sinus de l'arc AD :: sinus de l'angle ADB : sinus de l'angle ABD

sinus de l'arc AG : sinus de l'arc AD :: sinus de l'angle ADG : sinus de l'angle AGD

En nous basant sur les deux dernières proportions, nous avons :

sinus de l'arc AB : sinus de l'arc AG :: sinus de l'angle AGD ou AGB : sinus de l'angle ABD ou ABG

Et en interchangeant les termes :

sinus de l'arc AB : sinus de l'angle AGB :: sinus de l'arc AG : sinus de l'angle ABG

Donc les proportions des sinus des arcs sphériques aux sinus des angles opposés tiennent pour tous les triangles sphériques ! Au lecteur de trouver si cela tient aussi en projetant la perpendiculaire depuis les points B ou G plutôt que depuis le point A ; et si un ou plusieurs angles du triangle sphérique sont obtus. Les interchangeabilités peuvent être source de confusion dans un premier temps, mais une fois que l'on commence à jouer avec les sphères, on peut comprendre comment ca fonctionne. En tout cas, une simple lecture de ce pédagogique ne suffit pas.

Et comme pour les divisions régulières de la sphère, il n'y a rien de physiquement évident sur ce qui fait que cette proportion fonctionne pour tous les triangles sphériques. Nous allons devoir travailler plus en profondeur sur la nature de la courbure de la sphère pour mieux comprendre tout cela.

Introduction à la section d'or

théodore — 2010-08-11T21:13:33Z

Les cours de classe habituels expliquent la construction de la section d'or comme étant nécessaire à la construction du pentagone. Cette pratique, qui peut sembler innocente, a en fait contribué à la diffusion de beaucoup d'absurdités. On peut éviter ce genre de balivernes en resituant la section d'or au sein d'une lecture convenable de la simple construction-preuve établissant la singularité des cinq solides platoniciens. » (Lyndon LaRouche, Au sujet de la métaphore)

Dans L'Etrenne ou la neige sexangulaire (1611), Kepler étudie la différence entre processus vivants et non-vivants. La question de savoir pourquoi les flocons de neige sont constamment formés de six petites plumes de glace (ni plus, ni moins), a amené la question de savoir pourquoi la plupart des fleurs ont cinq pétales et pourquoi on retrouve également une symétrie pentagonale dans les graines de certains fruits et dans d'autres processus vivants. Nous-mêmes avons cinq doigts à la main et aux pieds, pourquoi pas six ou sept ? Kepler se pose le défi d'étudier la relation entre la nécessité matérielle de la symétrie trouvée dans les processus vivants ou non-vivants et le principe qui vient guider la matière pour qu'elle prenne la forme qu'elle a. En tout cas, une chose est certaine, c'est que nous sommes les seules créatures sur cette planète à pouvoir se poser ce genre de questions.

L'objectif sera ici de rendre plus claire l'idée de Kepler de principe de vie (ou âme) et comment il peut se révéler aux sens.

Le gros problème habituellement rencontré dans l'étude de la section d'or est qu'on part avec le présupposé que ce que Kepler appelle « la proportion des rapports extrême et moyen » est connue d'avance.

Or, comment découvre-t-on une proportion ? Par tatônnements ? Accidentellement ? Quand on a découvert comment construire certains polygones de façon connaissable, on peut commencer à enquêter sur les relations entre les grandeurs trouvées dans la division d'un cercle. C'est seulement par ce chemin que nous pourrons comprendre ce qu'est la section d'or. Bien qu'il soit possible de tomber par hasard sur un tel trésor, sa signification ne sera pleinement comprise que lorsqu'on aura éliminé de son étude les formalismes algébriques et les fraudes numérologiques. Commençons donc par une étude de la nature de la proportion à un niveau plus général.

Une proportion définit la façon dont une chose est liée à une autre par la médiation d'une troisième chose. Par exemple, un étang est à un lac ce qu'un lac est à un océan. La proportion n'est peut-être pas vraie en termes de quantité (des mètres cube d'eau dans cet exemple), mais elle l'est en termes d'ordre de grandeur.

En remplaçant un des termes par un autre objet, la relation peut ête rendue complètement disproportionnelle et absurde. Comment un étang serait-il à un lapin ce qu'un lapin est à un océan ?

Une proportion existe donc seulement en tant que relation entretenue entre différents objets.

Dans De la Docte ignorance, Nicolas de Cuse différencie qualitativement le polygone et son cercle inscrit ou circonscrit. Quel que soit le nombre de côtés ajoutés au polygone, ce dernier ne se fondra jamais entièrement au cercle : la différence entre le droit et le courbe est irréductible. L'arc circulaire et la ligne droite entretiennent une relation qualifiée de « transcendantale ». On peut dir que la courbure caractéristique du cercle est première à toute relation linéaire ou géométrique, qu'elle limite transcendantalement. Alors comment trouver une proportion entre une droite et une courbe ? Archimède avait défini une relation approximative entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Loin de nous faire mieux connaître la nature de la relation du cercle à son diamètre, cette technique ne permet que de faciliter certains calculs (comme la mesure du sinus d'un angle en partant de l'arc circulaire qui le sous-tend). Ces questions seront abordées plus longuement dans les Livres II, III et V, où l'on verra que certaines courbes, comme le cercle, le tore, le cylindre et l'ellipse, ont certaines proportions entre elles, ou plutôt ont le potentiel pour certaines proportions. Voir aussi la Digression politique du Livre III. Ici, nous allons simplement dresser rapidement un tableau de ce qu'est une proportion géométrique.

L'animation ci-dessous, créée à partir d'une étude du cube camard (clique ici pour un pédagogique sur le cube camard) permet de se faire une première idée sur ce qu'est une courbe « transcendante » :

On part d'un carré noir, un carré violet et quatre diagonales rouges. On fait subir un déplacement aux diagonales en faisant en sorte qu'elles gardent contact avec leur coin respectif du carré violet, ce qui fait que lui-même subit un changement. Les coins du carré violet divisent tous leur diagonale rouge dans la même proportion que les diagonales rouges divisent le côté du carré noir : la longueur DP est toujours à PC ce que BC est à CA. L'animation porte l'attention sur la division de l'une des diagonales : le point P trace la courbe verte. Quelle est cette courbe ? Est-ce cette courbe qui crée la proportion entre les diagonales et les carrés, ou la proportion crée-t-elle la courbe ? Comme on le verra dans d'autres pédagogiques (notamment sur la caténaire), l'univers physique colle à des courbes bien spécifiques, mais ontologiquement, c'est la courbe qui se voit gouvernée par un principe non perçu et premier à toute relation proportionnelle ou numérique exprimée par la courbe.

Constructions

théodore — 2010-08-11T20:56:36Z

Dans la construction des figures planes régulières, des quantités de genres très différents se produisent. Il faut toujours garder en tête qu'en géométrie, nous avons affaire aux choses de l'esprit, comme nous le verrons au Livre IV.

Proposition XXXIII

Si l'on enlève quatre au double du nombre d'angles d'une figure, on obtient le numérateur des parties d'un angle droit, ce qui nous donne l'angle de la figure : le dénominateur des parties de l'angle droit est le nombre d'angles lui-même.

L'angle d'une figure régulière de n côtés est de (2n-4)(90)/n

Pour un triangle par exemple : (2x3-4)(90)/3 = 60

Attention, cela ne fonctionne pas pour les étoiles.

Proposition XXXIV :
Le principe de toute connaissance géométrique

La ligne coupant un cercle en deux parties égales est connue par le premier degré de connaissance : c'est le diamètre lui-même.

Proposition XXXV : Le quadrangle

Kepler dit que le côté du quadrangle (carré) dessiné indépendamment du cercle reçoit son tracé géométrique à partir des angles.

Si le carré est inscrit dans un cercle, son côté est du troisième degré de connaissabilité et le carré du côté (son aire) est du second degré.

Le carré est une figure tellement simple que son aire est égale au carré de son côté, et que l'aire du carré du côté est égale à la moitié du carré du diamètre du cercle.

Proposition XLII : Le décagone et le pentagone

Pour construire un décagone dans un cercle, Kepler divise d'abord une ligne selon la section d'or. Les aires du carré et du rectangle ci-dessous sont égales. La plus grande partie de la ligne de 2 est la moyenne proportionnelle entre la partie la plus petite et la ligne entière. Prouver cela demande de se mettre au boulot. Le diamètre est lui aussi composé de ces parties.

Dans la figure ci-dessous, on voit que rayon² + décagone² = pentagone² : On voit aussi le côté de l'étoile pentagonale et de l'étoile décagonale dans cette construction :

La parabole

Ces animations montrent pourquoi la coupe d'un cône parallèle à son côté produit une courbe, la parabole, dont la hauteur est égale au carré de la moitié de sa largeur (Y=X²).

lymfrance.org

Le courage de Kepler

La trisection de l'angle

Variation illimitée

Angle doublé

Dürer et le nonagone

Les coniques

La section parabolique

Mais la coupe hyperbolique fonctionne-t-elle vraiment ?

Toutes les paraboles sont les mêmes ! Mais pas toutes les hyperboles ni toutes les ellipses…

Ménechme

Les sections coniques

La parabole

L'hyperbole

Indétermination

Le pentagone

La section d'or

De l'origine des nombres

Le triangle élémentaire

Indétermination

Introduction sur l'heptagone

Les bâtons de Napier

Regiomontanus et les triangles sphériques

Introduction à la section d'or

Constructions

Proposition XXXIII

Proposition XXXIV : Le principe de toute connaissance géométrique

Proposition XXXV : Le quadrangle

Proposition XLII : Le décagone et le pentagone

La parabole

Proposition XXXIV :
Le principe de toute connaissance géométrique